Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AIB,\Delta AIC$ có:

Chung $AI$

$\widehat{AIB}=\widehat{AIC}(=90^o)$

$AB=AC$

$\to \Delta AIB=\Delta AIC$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to \widehat{IAB}=\widehat{IAC}, IB=IC$

$\to I$ là trung điểm $BC$

$\to AI$ là trung tuyến $\Delta ABC$

b.Vì $I$ là trung điểm $BC\to IB=IC=\dfrac12BC=3(cm)$

Do $AI\perp BC\to \Delta AIB$ vuông tại $I$

$\to AB^2=AI^2+IB^2$

$\to IA^2=AB^2-BI^2=16$

$\to AI=4$

$\to BI<AI<AB$

$\to \widehat{BAI}<\widehat{ABI}<\widehat{AIB}$

c.Xét $\Delta AIB,\Delta BID$ có:

Chung $BI$

$\widehat{AIB}=\widehat{BID}(=90^o)$ vì $AI\perp BC$

$IA=ID$

$\to \Delta AIB=\Delta DIB(c.g.c)$

$\to BA=BD$

$\to \Delta ABD$ cân tại $B$

d.Ta có: $N, I$ là trung điểm $BD, AD$ và $AN\cap BI=M$

$\to M$ là trọng tâm $\Delta ABD$

$\to MI=\dfrac13BI=1$

$\to AM^2=AI^2+IM^2=17$

$\to AM=\sqrt{17}$

e.Trên tia đối của tia $NI$ lấy điểm $K$ sao cho $NI=NK$

Xét $\Delta NBK,\Delta NDI$ có:

$NB=DN$ vì $N$ là trung điểm $BD$

$\widehat{BNK}=\widehat{IND}$(đối đỉnh)

$NK=NI$

$\to \Delta NBK=\Delta NDI(c.g.c)$

$\to BK=DI, \widehat{NBK}=\widehat{NDI}\to BK//DI$

$\to BK=AI(=ID)$

Xét $\Delta ABI,\Delta BIK$ có:

Chung $BI$

$\widehat{IBK}=\widehat{BIA}$ vì $BK//AD$

$BK=AI$

$\to \Delta ABI=\Delta KIB(c.g.c)$

$\to \widehat{ABI}=\widehat{BIK}$

$\to AB//IK$

$\to IN//AB$