Đáp án:

a) $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\,\rm(cmt)\\BD\ \rm là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta EBD\,\rm(ch-gn)$

b) $\Delta ABD=\Delta EBD\Rightarrow AD=DE$ (hai cạnh tương ứng).

$\widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ (cặp góc đối đỉnh).

Xét hai tam giác vuông $\Delta ADF$ và $\Delta DEC$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{DAF}=\widehat{DEC}=90^\circ\\\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\rm(cmt)\\AD=DE\,\rm(cmt)\end{array}\right\}\Delta ADF=\Delta DEC\,\rm(gcg)$

$\Rightarrow DF=DC$ (hai cạnh tương ứng).

c) Xét tam giác vuông $\Delta DEC$ vuông tại $E$

$\Rightarrow DE$ là cạnh góc vuông và $DC$ là cạnh huyền.

$\Rightarrow DE<DC$ (cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông).

Mà $DA=DE\Rightarrow DA<DC$.

d) $AC\,\bot\,BF\Rightarrow AC$ là một đường cao của $\Delta BCF$.

$EF\,\bot\,BC\Rightarrow EF$ là một đường cao của $\Delta BCF$.

Vì $AC$ và $EF$ là đường cao và $AC\cap EF=D$

Nên $D$ là trực tâm của $\Delta BCF$.

$BD$ cắt $EF$ tại $H\Rightarrow BH$ đi qua trực tâm $D$

$\Rightarrow BH$ cũng là đường cao của $\Delta BCF$.

$\Delta ABD=\Delta EBD\Rightarrow AB=BE$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ADF=\Delta DEC\Rightarrow AF=CE$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AB+AF=BE+CE\Rightarrow BF=BC$

$\Rightarrow \Delta BCF$ cân tại $B$ có đường cao $BH$.

$\Rightarrow BH$ đồng thời cũng là đường trung trực của $\Delta BCF$ ứng với $CF$.

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $CF$.

$\Rightarrow KH$ là đường trung tuyến của $\Delta KCF$.

Vì $DF=DK$ nên $D$ là trung điểm của $KF$.

$\Rightarrow DC$ là đường trung tuyến của $\Delta KCF$.

Vì $KH$ và $DC$ là đường trung tuyến và $KH\cap DC=I$

Nên $I$ là trọng tâm của $\Delta KCF$.

Mặt khác, $CI=2DI\Rightarrow CI=\dfrac23 DC$ cách từ $I$ đến đỉnh $C$ nên $I$ là trọng tâm của $\Delta KCF$.

$\Rightarrow KH$ đi qua trọng tâm $I$

$\Rightarrow I\in KH$

$\Rightarrow I$, $K$, $H$ thẳng hàng.