Đáp án + giải thích các bước giải:

Theo mình bất đẳng thức Hölder ở cấp trung học cơ sở vẫn chưa được phổ biến lắm, nên mình chỉ nêu vài khái niệm đơn giản thôi nhé, có gì sai sót mong bạn bỏ qua.

Bất đẳng thức Hölder: `\prod_{i=1}^m(\sum_{j=1}^n a_{i_j})>=(\sum_{j=1}^n\root{m}{\prod_{i=1}^m a_{i_j}})^m`

Hay `(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m`

Với `a_{i_j}>0` mà `i=\overline{1,m};j=\overline{1,n}`

Ví dụ: 

1/ Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

Theo bất đẳng thức Hölder với `m=2`, có:

`(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})>=(\sqrt{a_{1_1}a_{2_1}}+\sqrt{a_{1_2}a_{2_2}}+...+\sqrt{a_{1_n}a_{2_n}})^2`

Đổi biến `(a_1;a_2)=(x^2;y^2)`

`->(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+...+y_n^2)>=(x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n)^2`

2/ Chứng minh `a^3/x+b^3/y+c^3/z>=(a+b+c)^3/(3(x+y+z))`

Theo bất đẳng thức Hölder, có:

`(1+1+1)(x+y+z)(a^3/x+b^3/y+c^3/z)>=(root{3}{1.x. a^3/x}+root{3}{1.y. b^3/y}+root{3}{1.z. c^3/z})^3`

`->3(x+y+z)(a^3/x+b^3/y+c^3/z)>=(a+b+c)^3`

`->a^3/x+b^3/y+c^3/z>=(a+b+c)^3/(3(x+y+z))`

3/ Chứng minh `(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3`

Theo bất đẳng thức Hölder, có:

`(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)>=(root{3}{a^3 .1.1}+root{3}{1.b^3 .1}+root{3}{1.1.c^3})^3`

`->(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)>=(a+b+c)^3`

4/ Chứng minh `abc+root{3}{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}>=ab+bc+ca` với `a,b,c>0`

Theo bất đẳng thức Hölder, có:

`(1+a^3)(b^3+1)(1+c^3)>=(root{3}{1.b^3 .1}+root{3}{a^3 .1.c^3})^3`

`->root{3}{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}>=b+ac`

Vậy ta sẽ chứng minh `abc+b+ac>=ab+bc+ac`

`->abc+b-ab-bc>=0`

`->b(ac+1-a-c)>=0`

`->b[a(c-1)-(c-1)]>=0`

`->b(a-1)(c-1)>=0`

Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số `a-1;b-1;c-1` luôn tồn tại ít nhất hai số cùng dấu, giả sử không mất tính tổng quát, hai số đó là `a-1` và `c-1`, ta có điều phải chứng minh.