a)

$\Delta ABC$ cân tại $A$

$\to AB=AC$

$\,\,\,\,\,\,AM+AN=2AB$

$\to \left( AB-BM \right)+\left( AC+CN \right)=AB+AC$

$\to BM=CN$

b)

Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $MN$

Từ $N$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $E$

$\to \widehat{ABC}=\widehat{NEC}$ ( hai góc  so le trong )

Mà: $\begin{cases}\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\\\\\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\end{cases}$

Nên $\widehat{NEC}=\widehat{NCE}$

$\to \Delta NCE$ cân tại $N$

$\to EN=CN$

$\to EN=BM$

Xét $\Delta BDM$ và $\Delta EDN$, ta có:

$\widehat{DBM}=\widehat{DEN}$ ( $EN\,\,||\,\,AB$, hai góc so le trong )

$BM=EN$ ( cmt )

$\widehat{DMB}=\widehat{DNE}$ ( $EN\,\,||\,\,AB$, hai góc so le trong )

$\to \Delta BDM=\Delta EDN\,\,\,\left( \,g\,.\,c\,.\,g\, \right)$

$\to DM=DN$

$\to D$ là trung điểm $MN$

$\to BC$ đi qua trung điểm $D$ của $MN$

c)

Từ $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt phân giác góc $\widehat{BAC}$ tại $F$

Bây giờ chỉ việc chứng minh $F$ trùng với $K$ là kết thúc bài toán

Xét $\Delta ABF$ và $\Delta ACF$, ta có:

$AB=AC$

$AF$ cạnh chung

$\widehat{BAF}=\widehat{CAF}$

$\to \Delta ABF=\Delta ACF$

$\to \widehat{ABF}=\widehat{ACF}=90{}^\circ $

Mặt khác:

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AF$ là tia phân giác

Nên $AF$ cũng là đường trung trực

$\to FB=FC$

Xét $\Delta MBF$ và $\Delta NCF$, ta có:

$MB=NC$

$\widehat{MBF}=\widehat{NCF}=90{}^\circ $

$FB=FC$

$\to \Delta MBF=\Delta NCF$

$\to FM=FN$

$\to \Delta FMN$ cân tại $F$

Có $FD$ là đường trung tuyến

Nên $FD$ cũng là đường trung trực

Mà $KD$ cũng là đường trung trực ( gt )

Và điểm $K,F$ đều nằm trên phân giác $\widehat{BAC}$

Vì vậy $K\equiv F$

Hay nói cách khác $KC\bot AN$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: