Giải thích các bước giải:

a. Xét ΔOAM và ΔOBP có: 

OA=OB

góc OAM=góc OBP=90

góc AOM= góc BOP (2 góc đối đỉnh)

->  ΔOAM = ΔOBP (g.c.g)

-> OM=OP (đpcm)

-> O là trung điểm MP

Xét ΔNMP có

NO là đường trung tuyến 

mà NO là đường cao

-> ΔNMP cân ở N (đpcm)

b. ΔNMP cân ở N mà NO là đường cao

-> NO là đường phân giác -> góc MNO=góc PNO

Xét ΔNIO và ΔNBO có:

ON chung

góc INO=góc BNO

góc NIO=góc NBO (=90)

-> ΔNIO = ΔNBO (cạnh huyền - góc nhọn)

-> IO=BO =R (đpcm)

-> I thuộc (O)

mà MN⊥OI tại I 

-> MN là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

c. Vì MA,MI là 2 tiếp tuyến của (O) kẻ từ M

-> MA=MI 

mà OA=OI

-> OM là đường trung trực của AI 

mà tam giác OAI cân ở O 

-> OM là tia phân giác của góc AOI -> 2.góc MOI=góc AOI

Vì NB,NI là 2 tiếp tuyến của (O) kẻ từ N

-> NB=NI 

mà OB=OI

-> ON là đường trung trực của BI 

mà tam giác OBI cân ở O 

-> ON là tia phân giác của góc BOI -> 2.góc NOI=góc BOI

góc AOI+góc BOI=180

<-> 2.góc MOI + 2. góc NOI=180

<-> góc MON=90

-> tam giác MON vuông ở O mà OI là đường cao

áp dụng hệ thức lượng:

-> OI²=MI.NI

mà OI=R, MI=MA, NI=NB

-> R²=MA.NB (đpcm)