Bài 1

Vẽ $DM;DN$ lần lượt vuông góc với $AB;AC$ $(M\in AB;N\in AC)$

Tứ giác $AMDN$ có:

`\hat{MAN}=\hat{AMD}=\hat{AND}=90°`

`=>AMDN` là hình chữ nhật 

Mà `AD` là phân giác của `\hat{BAC}` (gt)

`=>AD` là phân giác của `\hat{MAN}`

`=>AMDN` là hình vuông

`=>DM=DN=AN=AM`

$\\$

$∆ADN$ vuông tại $N$

`=>AD^2=AN^2+DN^2=2DN^2` (định lý Pytago)

`=>AD=DN\sqrt{2}`

`=>DN={AD}/{\sqrt{2}}`

`=>1/{DN}={\sqrt{2}}/{AD}`

$\\$

$∆ABC$ có $DN$//$AB$ (cùng vuông góc $AC$)

`=>{DN}/{AB}={CD}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)

$∆ABC$ có $DM$//$AC$ (cùng vuông góc $AB$)

`=>{DM}/{AC}={BD}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{DN}/{AC}={BD}/{BC}` (do $DN=DM$)

$\\$

`=>{DN}/{AB}+{DN}/{AC}={CD}/{BC}+{BD}/{BC}`

`=>DN. (1/{AB}+1/{AC})={CD+BD}/{BC}={BC}/{BC}=1`

`=>1/{DN}=1/{AB}+1/{AC}`

`=>{\sqrt{2}}/{AD}=1/{AB}+1/{AC}` (đpcm)

$\\$

Bài 2.

`a)` $∆ABC$ vuông tại $A$

`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)

`=>BC^2=9^2+12^2=225`

`=>BC=15cm`

$\\$

$AD$ là phân giác `\hat{BAC}` (gt)

`=>{BD}/{CD}={AB}/{AC}=9/{12}=3/ 4`

`=>{BD}/3={CD}/4={BD+CD}/{3+4}={BC}/{7}={15}/7`

(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

`=>{BD}/3={15}/7=>BD={45}/7cm`

`\qquad {CD}/4={15}/7=>CD={60}/7 cm`

$\\$

$∆ABC$ có $DE$//$AB$ (cùng vuông góc $AC$)

`=>{DE}/{AB}={CD}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)

`=>DE={AB.CD}/{BC}={9. {60}/7}/{15}={36}/7cm`

Vậy `BD={45}/7cm;CD={60}/7cm;DE={36}/7cm`

$\\$

`b)` $∆ABC$ vuông tại $A$

`S_{∆ABC}=1/ 2 AB.AC`

`=1/ 2 .9.12=54(cm^2)`

Vẽ $AH\perp BC$ tại $H$

`=>S_{∆ABD}=1/ 2 AH.BD`

`\qquad S_{∆ABC}=1/ 2 AH.BC`

`=>{S_{∆ABD}}/{S_{∆ABC}}={BD}/{BC}={{45}/{7}}/{15}=3/7`

`=>S_{∆ABD}=3/7. S_{∆ABC}`

`=3/7 . 54={162}/7(cm^2)`

`=>S_{∆ACD}=S_{∆ABC}-S_{∆ABD}=54-{162}/7={216}/7cm^2`

Vậy `S_{∆ABD}={162}/7cm^2;S_{∆ACD}={216}/7cm^2`