a)

Xét $\Delta MID$ và $\Delta AIB$, ta có:

$\widehat{MID}=\widehat{AIB}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\widehat{IMD}=\widehat{IAB}$ ( $AB\,\,||\,\,CD$, hai góc so le trong )

$\to \Delta MID\sim\Delta AIB$

$\to \dfrac{IM}{IA}=\dfrac{MD}{AB}$

Xét $\Delta CKM$ và $\Delta AKB$, ta có:

$\widehat{CKM}=\widehat{AKB}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\widehat{KCM}=\widehat{KAB}$ ( $AB\,\,||\,\,CD$, hai góc so le trong )

$\to \Delta CKM\sim\Delta AKB$

$\to \dfrac{KM}{KB}=\dfrac{MC}{AB}$

Ta vừa mới chứng minh được $2$ kết quả như sau:

$\begin{cases}\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{MD}{AB}\\\\\dfrac{KM}{KB}=\dfrac{MC}{AB}\end{cases}$

Mà $MD=MC$ ( vì $M$ là trung điểm $CD$ )

Nên $\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{MC}{AB}$

Do đó $\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{KM}{KB}$

b)

Trong $\Delta AMB$ có tỉ số:

$\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{KM}{KB}$ ( cmt )

Nên $IK\,\,||\,\,AB$ ( định lý Ta – let đảo )

Hay $IK\,\,||\,\,AB\,\,||\,\,CD$

c)

$\Delta AMD$ có $IN\,\,||\,\,MD$

$\to \dfrac{AI}{AM}=\dfrac{IN}{MD}$ ( hệ quả của định lý Ta – let )

$\Delta AMC$ có $IK\,\,||\,\,MC$

$\to \dfrac{AI}{AM}=\dfrac{IK}{MC}$ ( hệ quả của định lý Ta – let )

$\to \dfrac{IN}{MD}=\dfrac{IK}{MC}$

Mà $MD=MC$ ( $M$ là trung điểm $CD$ )

Nên $IN=IK$

Hay nói cách khác, $I$ là trung điểm $KN$