a) Vì $AD$ là tia phân giác của góc $A$

$\Rightarrow \widehat {BA{\text{D}}} = \widehat {DAI}$

Xét $\Delta AB{\text{D}} $ và $\Delta AI{\text{D}}$, ta có:

$ \widehat {BA{\text{D}}} = \widehat {DAI} \\ \widehat {AB{\text{D}}} = \widehat {AI{\text{D}}}( = {90^ \circ }) \\ $

$AD$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta AB{\text{D}} = \Delta AI{\text{D}}$

b) $ \Delta AB{\text{D}} = \Delta AI{\text{D}}$

$ \Rightarrow B{\text{D}} = DI$

Xét $\Delta DBH $ và $ \Delta DIC$, ta có:

$ B{\text{D}} = DI \\ \widehat {B{\text{D}}H} = \widehat {I{\text{D}}C} \\ \widehat {DBH} = \widehat {DIC}( = {90^ \circ }) \\ $

$ \Rightarrow \Delta DBH = \Delta DIC(g - c - g)$

$ \Rightarrow H{\text{D}} = DC \\ c)\widehat {BA{\text{D}}} = \widehat {DAI} < \widehat {DIC} = {90^ \circ } \\ \Rightarrow B{\text{D}} < DC \\ d)\Delta DBH = \Delta DIC \\ \Rightarrow HB = IC \\ \Delta AB{\text{D}} = \Delta AI{\text{D}} \\ \Rightarrow AB = AI \\ \Rightarrow AH = AC \\ $

Xets $\Delta AHC$ 

$BC; HI$ là đường cao

$D = BC \cap IH$

$\Rightarrow AD$ là đường cao của tam giác

$\Rightarrow AD$ là đường trung tuyến

Mà $AK$ là đường trung tuyến

Vậy $A;D; K$ thẳng hàng