Đáp án:

a) Tứ giác MDHE có 3 góc vuông tại M,D,E

=> MDHE là hình chữ nhật

b)

A là trung điểm của HP

Tam giác HEP vuông tại E có EA là đường trung tuyến

=> AE = AH = AP

=> ΔAHE cân tại A

=> góc AHE = góc AEH

MDHE là hình chữ nhật

Nên góc DEH = góc MHE

=> góc AHE + góc MHE = góc AEH + góc DEH

=> góc MHA = góc DEA = 90 độ

=> ΔDEA vuông tại E

c) MP = 4cm; MN = 3cm

$\begin{array}{l}
Theo\,Pytago:\\
N{P^2} = M{P^2} + M{N^2}\\
 \Rightarrow NP = 5\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow MH = \dfrac{{MP.MN}}{{NP}} = \dfrac{{3.4}}{5} = \dfrac{{12}}{5}\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow DE = MH = \dfrac{{12}}{5}\left( {cm} \right)\\
Theo\,Pytago\,trong\,\Delta MHP:\\
HP = \sqrt {M{P^2} - M{H^2}}  = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)}^2}}  = \dfrac{{16}}{5}\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow AE = \dfrac{1}{2}HP = \dfrac{8}{5}\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow {S_{DEA}} = \dfrac{1}{2}.DE.AE = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{12}}{5}.\dfrac{8}{5} = \dfrac{{48}}{{25}}\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$