Vì $\Delta ACDB$ nội tiếp có 2 đường chéo cắt nhau tại $I$

Nên dễ dàng chứng minh được:

$\Delta IAC\sim\Delta IBD$

$\to \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{AC}{BD}$

Mà: $\begin{cases}AC=MA\\BD=MB\end{cases}$

Nên $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{MA}{MB}$

$\Delta IAB$ có tỉ số: $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{MA}{MB}$

Nên $IM$ là tia phân giác $\widehat{AIB}$

b)

từ câu a:

$IM$ là tia phân giác $\widehat{AIB}$

Mà:

$IM\bot IK$

$\widehat{AIB}$ và $\widehat{DIB}$ là hai góc kề bù

Nên $IK$ là phân giác $\widehat{DIB}$

Nếu như $A,I,K,B$ cùng thuộc một đường tròn

Tức là $AIKB$ là tứ giác nội tiếp

$\to\begin{cases}\widehat{KIB}=\widehat{KAB}\,\,\,\left(\text{ cùng chắn cung AB }\right)\\\\\widehat{KID}=\widehat{KBA}\,\,\,\left(\text{ góc ngoài bằng góc đối trong }\right)\end{cases}$

Mà $\widehat{KAB}=\widehat{KBA}$ ( vì $OK$ là đường trung trực của $AB$ )

Nên $\widehat{KIB}=\widehat{KID}$

Do đó $IK$ là tia phân giác $\widehat{DIB}$

Mà điều này đúng ( bởi vì mới chứng minh ở trên )

Vậy $A,I,K,B$ cùng thuộc một đường tròn

Đáp án:

Vì ΔACDBΔACDB nội tiếp có 2 đường chéo cắt nhau tại II

Nên dễ dàng chứng minh được:

ΔIAC∼ΔIBDΔIAC∼ΔIBD

→IAIB=ACBD→IAIB=ACBD

Mà: {AC=MABD=MB{AC=MABD=MB

Nên IAIB=MAMBIAIB=MAMB

ΔIABΔIAB có tỉ số: IAIB=MAMBIAIB=MAMB

Nên IMIM là tia phân giác ˆAIBAIB^

b)

từ câu a:

IMIM là tia phân giác ˆAIBAIB^

Mà:

IM⊥IKIM⊥IK

ˆAIBAIB^ và ˆDIBDIB^ là hai góc kề bù

Nên IKIK là phân giác ˆDIBDIB^

Nếu như A,I,K,BA,I,K,B cùng thuộc một đường tròn

Tức là AIKBAIKB là tứ giác nội tiếp

→⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩ˆKIB=ˆKAB( cùng chắn cung AB )ˆKID=ˆKBA( góc ngoài bằng góc đối trong )→{KIB^=KAB^( cùng chắn cung AB )KID^=KBA^( góc ngoài bằng góc đối trong )

Mà ˆKAB=ˆKBAKAB^=KBA^ ( vì OKOK là đường trung trực của ABAB )

Nên ˆKIB=ˆKIDKIB^=KID^

Do đó IKIK là tia phân giác ˆDIBDIB^

Mà điều này đúng ( bởi vì mới chứng minh ở trên )

Vậy A,I,K,BA,I,K,B cùng thuộc một đường tròn