`a)` $AM$ là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$

`=>AM=BM=CM=1/ 2 BC` 

`=>BC=2AM` và  $∆MAC$ cân tại $M$

`=>\hat{MCA}=\hat{MAC}`

`=>\hat{BCA}=\hat{DAC}`

$\\$

$D$ thuộc tia đối $MA$ thỏa $DM=AM$ (gt)

`=>M` là trung điểm $DA$

`=>DA=2AM`

$\\$

`=>BC=DA=2AM`

$\\$

Xét $∆ABC$ và $∆CDA$ có:

`AC` là cạnh chung 

`\hat{BCA}=\hat{DAC}` (c/m trên)

`BC=DA` (c/m trên)

`=>∆ABC=∆CDA` (c-g-c) (đpcm)

$\\$

`b)` Gọi $F$ là giao điểm của $EI$ và $AB$

$\quad ∆ABC=∆CDA$ (câu a)

`=>\hat{BAC}=\hat{DCA}=90°` (hai góc tương ứng)

`=>AC`$\perp DI$ tại $C$

Mà $AB\perp AC$ 

`=>AB`//$DI$

`=>BF`//$DI$

$\\$

Xét $∆AFI$ và $∆ICA$ có:

`\hat{FAI}=\hat{CIA}` (hai góc so le trong do $BF$//$DI$)

`AI` là cạnh chung 

`\hat{FIA}=\hat{CAI}` (hai góc so le trong do $EI$//$AC$ gt)

`=>∆AFI=∆ICA` (g-c-g)

`=>AF=CI` (hai cạnh tương ứng)

Mà `CA=CI` (gt)

`=>AF=CA`

$\\$

Ta có:

`\hat{BAC}+\hat{CAF}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{CAF}=180°-\hat{BAC}=90°`

`\hat{EAF}+\hat{CAH}+\hat{CAF}=180°`

`=>\hat{EAF}+\hat{CAH}=180°-\hat{CAF}=90°`

$\\$

$∆ACH$ vuông tại $H$

`=>\hat{ACH}+\hat{CAH}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{EAF}=\hat{ACH}=\hat{BCA}`

$\\$

Vì $EI$//$AC$ (gt); $AC\perp BF$ 

`=>BF`$\perp EI$

`=>\hat{AFE}=90°`

$\\$

Xét $∆AFE$ và $∆CAB$ có:

`\hat{AFE}=\hat{CAB}=90°`

`AF=CA` (c/m trên)

`\hat{EAF}=\hat{BCA}` (c/m trên)

`=>∆AFE=∆CAB` (g-c-g)

`=>AE=CB` (hai cạnh tương ứng)

Vậy $AE=BC$ (đpcm)