a)

Có $\widehat{AMB}=\widehat{ACB}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\to AC\bot CB$ và $AM\bot MB$

Tứ giác $BHIM$ có $\widehat{BMI}=\widehat{BHI}=90{}^\circ $

$\to \widehat{BMI}+\widehat{BHI}=180{}^\circ $

$\to BHIM$ nội tiếp

b)

Vì $BHIM$ nội tiếp

$\to \widehat{AIH}=\widehat{ABM}$ (góc ngoài bằng góc đối trong)

Mà $\widehat{AIH}+\widehat{AIC}=180{}^\circ $ và $\widehat{ABM}+\widehat{ACM}=180{}^\circ $

$\to \widehat{AIC}=\widehat{ACM}$

Xét $\Delta AIC$ và $\Delta ACM$, ta có:

+   $\widehat{AIC}=\widehat{ACM}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{CAM}$ là góc chung

$\to \Delta AIC\backsim\Delta ACM\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AC}{AM}\to A{{C}^{2}}=AI.AM$

c)

Kéo dài $AC$ cắt $BN$ tại $D$

Ta-let, ta có: $\dfrac{AI}{AN}=\dfrac{IH}{NB}=\dfrac{IC}{ND}$

Mà $IH=IC\to NB=ND$

$\to N$ là trung điểm $BD$

$\to NC=ND$

$\to \Delta NCD$ cân tại $N$$\to \widehat{NCD}=\widehat{NDC}$

Có $\Delta OCA$ cân tại $O\to \widehat{OCA}=\widehat{OAC}$

$\to \widehat{NCD}+\widehat{OCA}=\widehat{NDC}+\widehat{OAC}$

Mà $\widehat{NDC}+\widehat{OAC}=90{}^\circ $

$\to \widehat{NCD}+\widehat{OCA}=90{}^\circ $

$\to \widehat{NCO}=90{}^\circ $

$\to NC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$