#

`a)`

Xét `ΔAEC` và `ΔADB` có :

`hat{AEC} = hat{ADB} = 90^o` (Vì `BD⊥AC, CE⊥AB`)

`hat{A}` chung

`AB = AC` (vì `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔAEC= ΔADB (ch - gn)`

`-> BD = CE` (2 cạnh tương ứng)

`b)`

Vì `ΔAEC = ΔADB (cmt)`

`-> hat{EBH} = hat{DCH}` (2 góc tương ứng)

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{EBC} = hat{DCB}`

Ta có : `hat{EBH} + hat{HBC} = hat{EBC}, hat{DCH} + hat{HCB} = hat{DCB}`

mà `hat{EBH} = hat{DCH} (cmt), hat{EBC} = hat{DCB} (cmt)`

`-> hat{HCB} = hat{HCB}`

`-> ΔBHC` Cân tại `H` (Định lí tam giác cân)

`c)`

Xét `ΔEHB` và `ΔDHC` có :

`BH = CH` (Vì `ΔBHC` cân tại `H`)

`hat{EHB} = hat{DHC}` (2 góc đối đỉnh)

`hat{EBH} = hat{DCH} (cmt)`

`-> ΔEHB = ΔDHC (g.c.g)`

`-> EH = HD` (2 cạnh tương ứng)

`-> BE = CD` (2 cạnh tương ứng)

Ta có : `AE + BE = AB, AD + CD = AC`

mà `BE = CD (cmt), AB = AC` (Vì `ΔABC` cân)

`-> AE = AD`

Xét `ΔAHE` và `ΔAHD` có :

`EH = HC (cmt)`

`AE = AD (cmt)`

`hat{AEC} = hat{ADB} = 90^o` (Vì `BD⊥AC, CE⊥AB`)

`-> ΔAHE = ΔAHD (c.g.c)`

`-> hat{EAH} = hat{DAH}` (2 góc tương ứng)

Gọi `M` là giao điểm của `AH` và `BC`

Xét `ΔAMB` và `ΔAMC` có :

`AM` chung

`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân)

`hat{EAH} = hat{DAH} (cmt)`

`-> ΔAMB = ΔAMC (c.g.c)`

`-> BM = MC` (2 cạnh tương ứng) (1)

`-> hat{AMB} = hat{AMC}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{AMB} + hat{AMC} = 180^o` (2 góc kề bù)

`-> hat{AMB} = hat{AMC} = 180^o/2 = 90^o`

hay `AM⊥BC` (2)

Từ (1) và (2)

`-> AH` là đường trung trực của `BC`

`d)`

Xét `ΔECB` và `ΔDBC` có :

`hat{DBC} = hat{ECB}` (Vì `ΔBHC` cân)

`BE = DC (cmt)`

`hat{BEC} = hat{CDB} = 90^o` (Vì `CE⊥AB, BD⊥AC`)

`-> ΔECB = ΔDBC (g.c.g) (1)`

Xét `ΔDBC` và `ΔDKC` có :

`BD = DK` (Vì `D` là trung điểm của `BK`)

`DC` chung

`hat{BDC} = hat{KDC} = 90^o`

`-> ΔDBC = ΔDKC (c.g.c) (2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`-> ΔEBC = ΔDKC (= ΔDBC)`

`-> hat{ECB} = hat{DKC}` (2 góc tương ứng)