Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\widehat{EMD}=\widehat{END}(=90^o)$

$\to EDMN$ nội tiếp  đường tròn đường kính $DE$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{AED},\widehat{ANM}=\widehat{ADE}$

$\to \Delta AMN\sim\Delta AED(g.g)$

b.Ta có $EO//DH(\perp AC), DN//CE(\perp AB)$

$\to EHDO$ là hình bình hành

$\to OH\cap ED$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $I$ là trung điểm $DE$

$\to I$ là trung điểm $OH$

Ta có $\widehat{AEC}=90^o ,\hat A=45^o\to \Delta AEC$ vuông cân tại $E$

$\to \widehat{ACE}=45^o\to \widehat{DCH}=45^o$

Mà $BD\perp AC\to \Delta DHC$ vuông cân tại $D$

Gọi $F$ là trung điểm $HC\to DF\perp CE\to DF//NE$

Lại có $DN//CE\to NDFE$ là hình bình hành

$\to NF\cap DE$ tại trung điểm mỗi đường

$\to I$ là trung điểm $NF$

Ta có $NF\cap OH=I\to NOFH$ là hình bình hành

$\to NO=HF=\dfrac12HC$

$\to HC=2NO$

c.Ta có $\Delta AEC$ vuông cân tại $E, EM\perp AC\to EM$ là trung trực $AC$

Tương tự $DN$ là trung trực $AB$

Mà $EM\cap DN=O\to O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Gọi $K$ là trung điểm $BC\to OK\perp BC$

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC\to G\in AK, \dfrac{AG}{AK}=\dfrac23$

Gọi $AL$ là đường kính của $(O)$

$\to LB\perp AB, LC\perp AC\to LB//HC, LC//BH$

$\to BHCL$ là hình bình hành

$\to HL\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $K$ là trung điểm $BC\to K$ là trung điểm $HL$

Ta có $AK, HO$ là trung tuyến $\Delta AHL$

Gọi $AK\cap HO=G'$

$\to G'$ là trọng tâm $\Delta AHL\to \dfrac{AG'}{AK}=\dfrac23$

$\to \dfrac{AG'}{AK}=\dfrac{AG}{AK}$

$\to AG'=AG$

$\to G\equiv G'$

$\to HI$ đi qua trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$