Đáp án:

Cách trên máy tính nó có a+b+c=3 còn cách của mị là cách tổng quát dùng cho a,b,c>0 bất kì nha.

Giải thích các bước giải:

Đặt `A=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)`

Cách 1:

`A=a^2/(ab+ac)+b^2/(ab+bc)+c^2/(ac+bc)`

Áp dụng BĐT cosi-schwars cho các số dương ta có:

`a^2/(ab+ac)+b^2/(ab+bc)+c^2/(ac+bc)>=(a+b+c)^2/(2ab+2bc+2ca)`

Với mọi số thực ta luôn có:

`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`

`<=>a^2-2ab+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2>=0`

`<=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca`

`<=>a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca`

`+)(a+b+c)^2/(2ab+2bc+2ca)`

`=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/(2ab+2bc+2ca)>=(3ab+3bc+3ca)/(2ab+2bc+2ca)=3/2`

`=>A>=3/2(ĐPCM)`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`

Cách 2:

`a+b+c=3`

`=>b+c=3-a`

`=>a/(b+c)=a/(3-a)`

Xét `a/(3-a)-3/4a+1/4`

`=(4a-3a(3-a)+(3-a))/(4(3-a))`

`=(4a-9a+3a^2+3-a)/(4(3-a))`

`=(3a^2-6a+3)/(4(3-a))`

`=(3(a-1)^2)/(4(3-a))>=0`

`=>a/(3-a)>=3/4a-1/4`

Hoàn toàn tương tự:

`b/(3-b)>=3/4b-1/4`

`c/(3-c)>=3/4c-1/4`

`=>A>=3/4(a+b+c)-3/4`

`a+b+c=3`

`=>A>=9/4-3/4=3/2`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=1/2`