a. 

+ $∆AHC$ vuông tại $H$ $⇒ \widehat{HAC} = 45°$.

+ $∆BHA$ vuông tại $H$ $⇒ \widehat{BHI} = 45°$.

+ $∆ADI$ có $\widehat{A} = \widehat{I} = 45°$.

$⇒ \widehat{D} = 90°$.

$⇒ BD ⊥ AC$.

+ $I = AH ∩ BD$.

$⇒ I$ là trực tâm $∆ABC$.

b. 

+ Tứ giác $KMHN$ có: 

$\widehat{HMK} = \widehat{MKN} = \widehat{KNH} = 90°$.

$⇒$ Tứ giác $HNKM$ là hình chữ nhật.

+ Xét $∆ABH$ và $∆CIH$, ta có: 

$\left\{ \begin{array}x  \widehat{AHB} = \widehat{CHI} = 90° \\  AH = CH\\  BH = HI \\ \end{array}  \right.$ $⇒ ∆ABH = ∆CIH$ (c.g.c).

$⇒ HN = HM$ (hai đường cao tương ứng).

$⇒$ Tứ giác $HMKN$ là hình vuông.

c. 

+ Ta có: $∆AHC$ cân tại $H$.

$⇒ $ Trung tuyến $HQ$ đồng thời là đường cao.

$⇒ HQ ⊥ AC$.

$⇒$ Tứ giác $HNQC$ nội tiếp.

$⇒ \widehat{QNH} + \widehat{QCH} = 180°$.

+ Mà: $\widehat{QCH} = 45°$.

$⇒ \widehat{QNH} = 135°$.

+ Mà: Tứ giác $KMNH$ là hình vuông.

$⇒ \widehat{MNH} = 45°$.

$⇒ \widehat{QNH} + \widehat{MNH} = 135° + 45°$.

$⇒ \widehat{QNM} = 180°$.

$⇒ Q$, $M$, $N$ thẳng hàng.

+ Tương tự: $P$, $M$, $N$ thẳng hàng.

$⇒ $ Bốn điểm $P$, $M$, $N$, $Q$ thẳng hàng.

XIN HAY NHẤT 

CHÚC EM HỌC TỐT 

Bạn xem hình