`a)` $∆ABC$ cân tại $A$ (gt)

`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}`

`=>\hat{DBM}=\hat{ACB}`

Mà `\hat{ACB}=\hat{ECN}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\hat{DBM}=\hat{ECN}`

$\\$

Xét $∆DBM$ và $∆ECN$ có:

`\hat{BMD}=\hat{CNE}=90°`

`BD=CE` (gt)

`\hat{DBM}=\hat{ECN}` (c/m trên)

`=>∆DBM=∆ECN` (ch-gn)

`=>DM=EN` (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

$\\$

`b)` $∆DMI$ vuông tại $M$

`=>\hat{IDM}+\hat{DIM}=90°` (hai góc phụ nhau)

$∆ENI$ vuông tại $N$

`=>\hat{IEN}+\hat{EIN}=90°` (hai góc phụ nhau)

Mà `\hat{DIM}=\hat{EIN}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\hat{IDM}=\hat{IEN}`

$\\$

Xét $∆DMI$ và $∆ENI$ có:

`\hat{DMI}=\hat{ENI}=90°`

`DM=EN` (câu a)

`\hat{IDM}=\hat{IEN}`

`=>∆DMI=∆ENI` (g-c-g)

`=>ID=IE` (hai cạnh tương ứng)

Mà $D;I;E$ thẳng hàng 

`=>I` là trung điểm $DE$ (đpcm)

$\\$

`c)` Vẽ đường thẳng vuông góc $AB$ tại $B$ và đường thẳng vuông góc $AC$ tại $C$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $F$

Vì $A;B; C$ cố định nên $F$ cố định

$\\$

Xét $∆ABF$ và $∆ACF$ có:

`\hat{ABF}=\hat{ACF}=90°`

$AF$ là cạnh chung 

`AB=AC` (do $∆ABC$ cân tại $A$)

`=>∆ABF=∆ACF` (ch-cgv)

`=>BF=CF` (hai cạnh tương ứng)

$\\$

Xét $∆BDF$ và $∆CEF$ có:

`BF=CF` (c/m trên)

`\hat{DBF}=\hat{ECF}=90°`

`BD=CE` (gt)

`=>∆BDF=∆CEF` (c-g-c)

`=>DF=EF` (hai cạnh tương ứng)

`=>F` thuộc đường trung trực của $DE$

Mà $F$ cố định nên đường trung trực của $DE$ luôn đi qua điểm $F$ cố định (đpcm)