Giải thích các bước giải:

a.Cách 1:

Ta có $E,F\in$ đường tròn đường kính $AH$

$\to HE\perp AB ,HF\perp AC$
Mà $AH\perp BC$

$\to AE.AB=AH^2=AF.AC$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Cách 2:

 Ta có $HE\perp AB, HF\perp AC, AB\perp AC\to AEHF$ là hình chữ nhật

Xét $\Delta AEF,\Delta ACB$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEF}=\widehat{AHF}=90^o-\widehat{HAF}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACB}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ACB(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$

$\to AE.AB=AF.AC$

b.Gọi $AM\cap EF=D$

Ta có $AM\perp EF\to AD\perp FD$

$\to \widehat{MAC}=\widehat{DAF}=90^o-\widehat{AFD}=90^o-\widehat{AFE}=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{ACM}$

Vì $\Delta AEF\sim\Delta ACB\to \widehat{AFE}=\widehat{ABC}$

$\to \Delta MAC$ cân tại$M\to AM=MC$

Mặt khác $\widehat{MBA}=90^o-\widehat[MCA}=90^o-\widehat{MAC}=\widehat{MAB}$

$\to\Delta MAB$ cân tại $M\to MB=MA$

$\to MB=MC(=MA)$

$\to M$ là trung điểm $BC$

c.Sửa đề Gọi $I$ là trung điểm $BH$ chứng minh $IE$ là tiếp tuyến của $(O)$

Ta có $\Delta BEH$ vuông tại $E , I$ là trung điểm $BH$

$\to IE=IB=IH$

$\to IE=IH$

Mà $OE=OH$

$\to \Delta OEI=\Delta OHI(c.c.c)$

$\to \widehat{OEI}=\widehat{OHI}=90^o$

$\to IE$ là tiếp tuyến của $(O)$