a) Xét tam giác vuông ABM và tam giác vuông NCA có:

NC=AB( gt)

CA=BM ( gt)

=> Tam giác ABM = Tam giác NCA 

b) Xét  tam giác vuông NCA và tam giác vuông BAC có:

AC chung 

NC=BA

=> Tam giác NCA =Tam giác BAC

=> ^NAC =^BCA

mà hai góc trên ở vị trí so le trong

=> NA//BC (1)

c) Xét tam giác vuông ABC và tam giác vuông BMA có:

AB chung

AC=BM

=> Tam giác vuông ABC = Tam giác vuông BMA

=> ^MAB=^ABC

mà hai góc trên ở vị trí so le trong 

=> MA//CB (2)

từ (1) , (2) => N, A, M thẳng hàng 

Ta lại có: NA=AM ( Tam giác ABM =tam giác NCA)

=> A là trung điểm MN

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABN,\Delta ACM$ có:

$AB=AM$

$\widehat{NAB}=\widehat{NAC}-\widehat{BAC}=90^o-\widehat{BAC}=\widehat{NAC}-\widehat{BAC}=\widehat{NAB}$

$AN=AC$

$\to \Delta ABN=\Delta AMC(c.g.c)$

$\to BN=CM$

b.Trên tia đối của tia $IA$ lấy điểm $E$ sao cho $IA=IE$

Xét $\Delta IAB,\Delta EIC$ có:

$IA=IE$

$\widehat{AIB}=\widehat{EIC}$

$IB=IC$

$\to\Delta AIB=\Delta EIC(c.g.c)$

$\to CE=AB,\widehat{IAB}=\widehat{IEC}\to AB//CE$

Xét $\Delta AMN,\Delta CEA$ có:

$AN=AC$

$\widehat{CAM}=90^o-\widehat{BAC}$

$\to 90^o+\widehat{CAM}=180^o-\widehat{BAC}$

$\to \widehat{NAC}+\widehat{CAM}=180^o-\widehat{BAC}$

$\to \widehat{NAM}=180^o-\widehat{BAC}$

$\to \widehat{NAM}=\widehat{ACE}$ vì $AB//CE$

$\to \Delta AMN=\Delta CEA(c.g.c)$

$\to \widehat{CAE}=\widehat{ANM}$

Gọi $AE\cap MN=D, AC\cap MN=F$

$\to \widehat{FAD}=\widehat{FNA}$

$\to \widehat{FAD}+\widehat{AFD}=\widehat{FNA}+\widehat{AFN}=90^o$ vì $AN\perp AC$

$\to \Delta ADF$ vuông tại $D$

$\to AI\perp MN$