Giải thích các bước giải:

a.Ta có $MH$ là đường kính của $(I)$

$\to HE\perp ME, HF\perp MF$

Mà $AB$ là đường kính của $(O)\to AM\perp MB$

$\to MEHF$ là hình chữ nhật

$\to MH\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường

$\to I$ là trung điểm $EF$ vì $I$ là trung điểm $MH$

$\to E,I,F$ thẳng hàng

Ta có $MH\perp AB\to\Delta MHB$ vuông tại $H, HF\perp MB$

$\to  MH^2=MF.MB$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

b.Ta có $\widehat{MNF}=\widehat{MHF}=90^o-\widehat{FHB}=\widehat{FBH}=\widehat{FBO}$

$\to BONF$ nội tiếp

c.Kẻ $Mt\perp OM$

$\to Mt$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{tMA}=\widehat{MBA}=\widehat{MHF}=\widehat{MEF}\to Mt//EF$

Mà $OM\perp Mt\to OM\perp EF$

$\to MK\perp EF$

Lại có $MD$ là đường kính của $(O)\to MB\perp BD$

$\to \widehat{MKF}=\widehat{MBD}(=90^o)$

Mà $\widehat{KMF}=\widehat{BMD}$

$\to\Delta MKF\sim\Delta MBD(g.g)$

$\to \dfrac{MK}{MB}=\dfrac{MF}{MD}$

$\to MK.MD=MF.MB=MH^2$

$\to \dfrac{MH}{MD}=\dfrac{MK}{MH}$

Lại có $\widehat{HMK}=\widehat{HMD}$

$\to\Delta MHK\sim\Delta MDH(c.g.c)$

$\to \widehat{MHK}=\widehat{MDH}$

d.Gọi $MP\cap AB=C$

Ta có $(O)\cap (I)=MP$

$\to OI\perp MP$
$\to OI\perp MC$

Mà $MH\perp AB\to MH\perp CO, I\in MH$

$\to I$ là trực tâm $\Delta MCO$

$\to CI\perp MO$

Lại có $EF\perp MK\to EF\perp MO\to IE\perp MO$

$\to E,I,C$ thẳng hàng

$\to E,C,F$ thẳng hàng

$\to MP, EF, AB$ đồng quy tại $C$