Gửi bạn

a)

Vì $MA,MB$ lần lượt là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90{}^\circ $

Xét tứ giác $MAOB$ có:

$\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

$\to MAOB$ là tứ giác nội tiếp

b)

Vẽ $AH$ vuông góc với cát tuyến $MIJ$ tại $H$

Xét $\Delta MAI$ và $\Delta MJA$ có:

$\widehat{AMJ}$ là góc chung

$\widehat{MAI}=\widehat{MIJ}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $AI$ )

$\to \Delta MAI\sim\Delta MJA$

$\to \dfrac{{{S}_{\Delta MAI}}}{{{S}_{\Delta MJA}}}={{\left( \dfrac{AI}{AJ} \right)}^{2}}$

$\to \dfrac{\dfrac{1}{2}\,.\,AH\,.\,MI}{\dfrac{1}{2}\,.\,AH\,.\,MJ}\,=\,\dfrac{A{{I}^{2}}}{A{{J}^{2}}}$

$\to \dfrac{MI}{MJ}\,=\,\dfrac{A{{I}^{2}}}{A{{J}^{2}}}$

c)

câu này nó hiển nhiên đúng rồi, có vẻ bị thiếu đề

Đường tròn $\left( O \right)$ cố định,

Cát tuyến $MIJ$ nên điểm $I,J$ luôn nằm trên đường tròn $\left( O \right)$

Cho dù cát tuyến $MIJ$ có thay đổi thì

$OI$ luôn luôn bằng $OJ$  ( cùng bằng bán kính của đường tròn )

Vì vậy đường tròn ngoại tiếp $\Delta OIJ$ chính là tâm $O$ cố định của đường tròn