Gọi thời gian vòi $1$ chảy một mình với công suất bình thường đầy bể là $x$ giờ 

thời gian vòi $2$ chảy một mình với công suất bình thường đầy bể là $y$ giờ

ĐK: $x,y>12$

Trong $1$ giờ, vòi $1$ chảy được $\frac{1}{x}$  bể 

Trong $1$ giờ, vòi $2$ chảy được $\frac{1}{y}$  bể

⇒ Trong $1$ giờ, cả hai vòi chảy được $\frac{1}{12}$  bể

Ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}$    $(1)$

Trong $8$ giờ cả hai vòi chảy được $\frac{8}{12}$ bể hay $\frac{2}{3}$ bể 

⇒ Còn lại trong bể là $\frac{1}{3}$ bể

⇒ Vòi $2$ chảy trong $3,5$ giờ với năng suất là $\frac{2}{y}$ 

Ta có phương trình: $3,5.\frac{2}{y}=\frac{1}{3}$

                        hay : $\frac{7}{y}=\frac{1}{3}$     $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình: 

$\left \{ {{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} (1)} \atop {\frac{7}{y}=\frac{1}{3} (2) }} \right.$

Giải HPT này ta tìm được: 

$\left \{ {{x = 28 (tmđk) } \atop {y = 21 (tmđk) }} \right.$ 

Vậy thời gian vòi $1$ chảy một mình với công suất bình thường đầy bể là $28$ giờ thời gian vòi $2$ chảy một mình với công suất bình thường đầy bể là $21$ giờ