`a)` Ta có:

`\qquad \hat{CAE}+\hat{BAC}+\hat{BAD}=180°`

`=>\hat{CAE}+\hat{BAD}=180°-\hat{BAC}=180°-90°=90°`

$\\$

$∆ACE$ vuông tại $E$ có:

`\hat{CAE}+\hat{ACE}=90°` (hai góc phụ nhau)

$\\$

`=>\hat{BAD}=\hat{ACE}`

Xét $∆BAD$ và $∆ACE$ có:

`\hat{ADB}=\hat{CEA}=90°`

$AB=CA$ (do $∆ABC$ vuông cân tại $A$)

`\hat{BAD}=\hat{ACE}` (c/m trên)

`=>∆BAD=∆ACE` (ch-gn)

`=>BD=AE` (hai cạnh tương ứng)

`\qquad AD=CE` (hai cạnh tương ứng)

$\\$

$A$ nằm giữa $D$ và $E$

`=>DE=AE+AD=BD+CE`

Vậy $DE=BD+CE$ (đpcm)

$\\$

`b)` $∆ABC$ vuông cân tại $A$

`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}`

Mà `\hat{ABC}+\hat{ACB}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>2\hat{ABC}=90°=>\hat{ABC}=45°`

$\\$

$∆ABC$ vuông cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến

`=>AM=BM=1/ 2 BC`

`\qquad AM` cũng là đường cao, đường phân giác của $∆ABC$

`=>\hat{BAM}=\hat{CAM}=1/ 2 \hat{BAC}=1/ 2 .90°=45°`

$\\$

Ta có:

`\hat{DBM}=\hat{DBA}+\hat{ABC}=\hat{DBA}+45°`

`\hat{EAM}=\hat{EAC}+\hat{CAM}=\hat{EAC}+45°`

Mà `\hat{DBA}=\hat{EAC}` (do $∆BAD=∆ACE$ câu a)

`=>\hat{DBM}=\hat{EAM}`

$\\$

Xét $∆DBM$ và $∆EAM$ có:

$BD=AE$ (câu a)

`\hat{DBM}=\hat{EAM}` (c/m trên)

`BM=AM` (c/m trên)

`=>∆DBM=∆EAM` (c-g-c)

`=>DM=EM` (hai cạnh tương ứng) $(1)$

`\qquad \hat{BMD}=\hat{AME}` (hai góc tương ứng)

$\\$

Ta có: $AM$ là đường cao $∆ABC$

`=> \hat{AMB}=90°`

`=>\hat{BMD}+\hat{AMD}=90°`

`=>\hat{AME}+\hat{AMD}=90°`

`=>\hat{DME}=90°`  $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>∆DME` vuông cân tại $M$ (đpcm)