a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}={{20}^{2}}-{{12}^{2}}=256$

$\to AC=16cm$

Vì $BM$ là trung tuyến

$\to M$ là trung điểm $AC$

$\to AM=CM=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{16}{2}=8cm$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABM$ vuông tại $A$

Ta có $B{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}$

$\to B{{M}^{2}}={{12}^{2}}+{{8}^{2}}=208$

$\to BM=4\sqrt{13}cm$

b)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CMD$, ta có:

+   $MA=MC$ (vì $M$ là trung điểm $AC$)

+   $\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $MB=MD\left( gt \right)$

$\to \Delta AMB=\Delta CMD\left( c.g.c \right)$

$\to AB=CD$ (hai cạnh tương ứng)

c)

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to AB<BC$

$\to CD<BC$

$\to \widehat{CBM}<\widehat{CDM}$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong $\Delta CBD$)

Mà $\widehat{CDM}=\widehat{ABM}$ (vì $\Delta AMB=\Delta CMD$)

Vậy $\widehat{CBM}<\widehat{ABM}$