Giải thích các bước giải:

Bài 7:

Ta có $\Delta ABC$ đều

$\to AC=BC=AB=5$

Mà $BH\perp AC\to H$ là trung điểm $AC\to AH=HC=\dfrac12AC=\dfrac52$

Mặt khác $AB^2=AH^2+HB^2$

$\to BH^2=AB^2-AH^2$

$\to BH^2=5^2-(\dfrac52)^2=\dfrac{75}4$

$\to BH=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$

Bài 8: 

a.Xét $\Delta AMC, \Delta ABN$ có:

$AM=AB$

$\widehat{MAC}=90^o+\widehat{BAC}=\widehat{BAN}$

$AC=AN$

$\to \Delta AMC=\Delta ABN(c.g.c)$

$\to MC=BN$

b.Gọi $BN\cap CM=D, CM\cap AB=E$

Từ câu a

$\to \widehat{NBA}=\widehat{AMC}$

$\to \widehat{AME}=\widehat{EBD}$

$\to \widehat{EDB}=180^o-\widehat{BED}-\widehat{EBD}=180^o-\widehat{MEA}-\widehat{EMA}=\widehat{MAE}=90^o$

$\to CM\perp BN$

c.Ta có $\Delta ABC$ đều cạnh $4$

$\to AB=BC=CA=4$

Mà $\Delta AMB, \Delta ANC$ vuông cân tại $A$

$\to BM=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}, CN=AC\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Kẻ $AH\perp BC, AH\cap MN=K$

$\to AH$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$

$\to \widehat{MAK}=180^o-\widehat{MAB}-\widehat{BAH}=180^o-\widehat{NAC}-\widehat{CAH}=\widehat{KAN}$

$\to AK$ là phân giác $\widehat{MAN}$

Mà $AM=AB=AC=AN$

$\to \Delta AMN$ cân tại $A\to AK\perp MN$

$\to AH\perp MN$

Do $AH\perp BC\to MN//BC$

Bài 9:

a.Ta có $BC=AB-AC=5$

Ta có $AD,BE\perp AB$

$\to CD^2=AD^2+AC^2=104\to CD=\sqrt{104}$

      $CE^2=CB^2+BE^2=26\to CE=\sqrt{26}$

b.Kẻ $EF\perp AD\to EF//AB$

Ta có $AF//BE(\perp AB)$

$\to EF=AB=7, AF=BE=1$(Tính chất đoạn chắn)

$\to DF=DA-AF=9$

$\to DE^2=DF^2+FE^2=9^2+7^2=130=104+26=CD^2+CE^2$

$\to \Delta CDE$ vuông tại $C$