a)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta MDC$, ta có:

+   $\widehat{C}$ là góc chung

+   $\widehat{BAC}=\widehat{DMC}=90{}^\circ $

$\to \Delta ABC\backsim\Delta MDC\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta BIM$ và $\Delta BCA$, ta có:

+   $\widehat{ABC}$ là góc chung

+   $\widehat{BMI}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta BIM\backsim\Delta BCA\left( g.g \right)$

$\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{BM}{BA}\to BI.BA=BM.BC$

c)

$\Delta IBC$ có hai đường cao $CA,IM$ cắt nhau tại $D$

$\to D$ là trực tâm của $\Delta ABC$

$\to BD\bot IC$ tại $K$

Xét $\Delta CIM$ và $\Delta CBK$, ta có:

+   $\widehat{ACB}$ là góc chung

+   $\widehat{CMI}=\widehat{CKB}=90{}^\circ $

$\to \Delta CIM\backsim\Delta CBK\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{CI}{CB}=\dfrac{CM}{CK}\to CI.CK=CM.CB$

Ta có $\begin{cases}BI.BA=BM.BC\\CI.CK=CK.CB\end{cases}\left(cmt\right)$

$\to BI.BA+CI.CK=BC\left( BM+CM \right)$

$\to BI.BA+CI.CK=B{{C}^{2}}$ (không đổi)

Vậy tích $BI.BA+CI.CK$ không phụ thuộc vào điểm $M$