`e)`

   ⨁  Xét `ΔAHB` và `ΔCAB`có:

`hat(BAH)=hat(BAC)`( cùng phụ `hat(HAC)`)

`hat(AHB)=hat(BAC)=90^o (AH⊥BC;ΔABC⊥A)`

⇒`ΔAHB ~ ΔCAB (g,g)`

⇒`(AB)/(BC)=(BH)/(AB)` (t ứng tỉ lệ)

⇒`AB^2=BH.BC(1)`

⨁ Vì `hat(NCK)=hat(ABN)``(` cùng bằng `hat(NBC)``)`

⇒`hat(NCK)+hat(KNC)=hat(ABN)+hat(ANB)` `(` do `hat(KNC)=hat(ANB)` đối đỉnh`)`

⇒`180^o -(hat(NCK)+hat(KNC))=180^o- (hat(ABN)+hat(ANB))` dùng tổng `3` góc trong `Δ`

⇒`hat(CKB)=hat(BAC)=90^o (vì hat(BAC)=90^o)`

⇒`CK⊥BK`

⨁ Xét `ΔBHM` và `ΔBKC` có:

   `hat(KBC)` chung

`hat(BHM)=hat(CKB)=90^o`

⇒`ΔBHM~ΔBKC (g,g)`

⇒`(BH)/(BK)=(BM)/(BC)` ( t ứng tỉ lệ)

⇒`BM.BK=BH.BC (2)`

⨁ Từ `(1);(2)`

⇒`AB^2=BM.BK`

⇒`(AB)/(BK)=(BM)/(AB)`

   Xét `ΔAMB và ΔKAB` có:

`hat(ABK)` chung

`(BM)/(AB)=(AB)/(BK)`

⇒`ΔAMB~ΔKAB (c,g,c)`

⇒`hat(BAH)=hat(AKB)`( t ứng bằng nhau )

_____________________________________

`f)`

   Gọi `I` là giao điểm của `AB; CK`

  Lúc này; ta xét `ΔBIC`có:

  `AB⊥AC(ΔABC⊥A)->CA` là đường cao `ΔBIC`

  `CK⊥BK(cmt) -> BK` là đường cao `ΔBIC`

mà `BK` cắt `CA` tại `N`

⇒`N` là trực tâm `ΔBIC`

⇒`IN⊥BC` (t/c trực tâm)

Mà `ND⊥BC` \(  do `ND` song song `AH`, mà `AH⊥BC`)

⇒`I;N;D` thẳng hàng

⇒`AB;CK;ND` đồng quy tại 1 điểm

_______________________________________

`e)`

Xét `triangle BAN` và `triangle CKN` có:

`@ hat(ABN) = hat(KCN)` (gt)

`@ hat(ANB)=hat(KNC)` (2 góc đối đỉnh)

`=> triangle BAN` $\backsim$ `triangle CKN` (g.g)

`=> hat(BAN)=hat(CKN) =90^@`

Xét `triangle BAN` và `triangle BKC` có:

`@ hat(ABN)=hat(KBC)` (vì `BK` là phân giác `hat(ABC)`)

`@ hat(BAN)=hat(BKC) (=90^@)`

`=> triangle BAN` $\backsim$ `triangle BKC` (g.g)

`=>  (BA)/(BK)=(BN)/(BC)`

`<=> (BA)/(BN) = (BK)/(BC)`

Xét `triangle BAK` và `triangle BNC` có:

`@ hat(ABK) = hat(NBC)` (`BK` là phân giác `hat(ABC)`)

`@ (BA)/(BN) = (BK)/(BC)` (cmt)

`=> triangle BAK` $\backsim$ `triangle BNC` (c.g.c)

`=> hat(BKA) = hat(BCN)`

Ta có: `hat(BCN) = 90^@ - hat(HAC)` (`triangle AHC` vuông tại `H`)

mà `hat(BAH) = 90^@ - hat(HAC)` (`triangle BAC` vuông tại `A`)

`=> hat (BAH)=hat(BCN)`

Ta lại có: `hat(BKA) = hat(BCN)` (cmt)

`=> hat(AKB) =hat(BAH)`

`f)`

Kéo dài `KC` cắt `AB` tại `E`

Vì `ND` $//$ `AH` (gt)

mà `AH bot BC` (gt)

`=> ND bot BC` `(1)`

Xét `triangle BEC` có:

`@ CA bot BE` (vì `hat(CAB) =90^@`) `(2)`

`@ BK bot CE` (vì `hat(BKC) =90^@`) `(3)`

`@ BK` cắt `CA` tại `N`

`=> N` là trực tâm của `triangle BEC`

`=> EN bot BC` `(4)`

Từ `(1);(4) => E;N;D` thẳng hàng

`=> ED bot BC` `(5)`

Từ `(2);(3);(5) => AB; CK; ND` đồng quy tại điểm `N`