b) 

Xét $\Delta EIK$ vuông tại $K$ và $\Delta EHK$ vuông tại $K$, ta có:

$EK$ là cạnh chung

$KI=KH$ ( vì $I$ đối xứng với $H$ qua $K$ )

$\to \Delta EIK=\Delta EHK$ ( cạnh góc vuông – cạnh góc vuông )

$\to \widehat{IEK}=\widehat{HEK}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{IEK}=\widehat{IAD}$ ( cùng phụ $\widehat{EDA}$ )

$\to \widehat{HEK}=\widehat{IAD}$

$\to \widehat{HED}=\widehat{HAD}$

$\to AEHD$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{DHA}=\widehat{DEA}$

c)

Vì $BFDC$ nội tiếp $\left( O \right)$

$\to \widehat{ABF}=\widehat{ADC}$ ( góc ngoài bằng góc đối trong )

Xét $\Delta ABF$ và $\Delta ADC$, ta có:

$\widehat{CAD}$ là góc chung

$\widehat{ABF}=\widehat{ADC}$ ( cmt )

$\to \Delta ABF\sim\Delta ADC$

$\to AB.AC=AF.AD\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta AIF$ và $\Delta ADK$, ta có:

$\widehat{IAF}$ là góc chung

$\widehat{AFI}=\widehat{AKD}=90{}^\circ $

$\to \Delta AIF\sim\Delta ADK$

$\to AI.AK=AF.AD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có:

$AB.AC=AI.AK$

Xét $\Delta KIE$ và $\Delta KAD$, ta có:

$\widehat{IKE}=\widehat{AKD}=90{}^\circ $

$\widehat{IEK}=\widehat{ADK}$ ( cùng phụ $\widehat{EDA}$ )

$\to \Delta KIE\sim\Delta KAD$

$\to KI.KA=KE.KD$

Ta vừa mới chứng minh được $2$ kết quả như sau:

$\begin{cases}AB.AC=AI.AK\\\\KI.KA=KE.KD\end{cases}$

Nhân vế theo vế, ta được:

$\,\,\,\,\,\,AB.AC.KI.KA=AI.AK.KE.KD$

$\to AB.AC.KI=AI.KE.KD$

`b)` $F\in (O)$ đường kính $DE$

`=>\hat{DFE}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>EF`$\perp AD$ tại $F$

`=>\hat{AFE}=90°`

$DE\perp AC$ tại $K$

`=>\hat{AKE}=90°`

`=>\hat{AFE}=\hat{AKE}=90°`

`=>` Tứ giác $AEKF$ có hai đỉnh kề nhau $F;K$ cùng nhìn cạnh $AE$ dưới góc vuông

`=>AEKF` nội tiếp 

`=>\hat{DEA}=\hat{DFK}` (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

$DFIK$ nội tiếp (câu a)

`=>\hat{DFK}=\hat{DIK}` (cùng chắn cung $DK$)

`=>\hat{DEA}=\hat{DIK}` (*)

Vì $H;I$ đối xứng qua $K$

`=>KI=KH`

Mà $DK\perp IH$ tại $K$

`=>DK` vừa là trung tuyến và đường cao của $∆DIH$

`=>∆DIH` cân tại $D$

`=>\hat{DIH}=\hat{DHI}`

`=>\hat{DIK}=\hat{DHA}` (**)

Từ (*);(**)`=>\hat{DHA}=\hat{DEA}` (đpcm)

$\\$

`c)`

+) Xét $∆AEK$ và $∆DHK$ có:

`\hat{AEK}=\hat{DHK}` (vì `\hat{DHA}=\hat{DEA}` câu c)

`\hat{AKE}=\hat{DKH}=90°`

`=>∆AEK∽∆DHK` (g-g)

`=>{KA}/{KD}={KE}/{KH}`

`=>KE . KD=KA.KH=KA.KI` $\quad (1)$

$\\$

+) Xét $∆AFI$ và $∆AKD$ có:

`\hat{A}` chung

`\hat{AFI}=\hat{AKD}=90°`

`=>∆AFI∽∆AKD` (g-g)

`=>{FA}/{KA}={AI}/{AD}`

`=>AI.KA=AD.FA` $\quad (2)$

$\\$

+) Xét $∆ADB$ và $∆ACF$ có:

`\hat{A}` chung

`\hat{ADB}=\hat{ACF}` (cùng chắn cung $BF$)

`=>∆ADB∽∆ACF` (g-g)

`=>{AD}/{AC}={AB}/{AF}`

`=>AD.AF=AB.AC` $\quad (3)$

$\\$

Từ `(1);(2);(3)` ta có:

`\quad AI.KE.KD=AI.KA.KI`

`=AD.FA.KI=AB.AC.KI`

`=>{AI.KE.KD}/{KI.AB.AC}=1` (đpcm)