a. Vì BE là phân giác góc B=>Góc ABE=Góc HBE
Xét tam giác ABE và tam giác HBE có:

BAE=BHE=90 độ
BE cạnh chung 
Góc ABE=Góc HBE(cmt)
=>Tam giác ABE=Tam giác HBE

b.Gọi G là giao điểm của AH và BE
   Vì tam giác ABE=tam giác HBE(cmt)=>AB=HB(hai cạnh tương ứng)
   Xét tam giác ABG và tam giác HBG có:
AB=HB(cmt)
Góc ABG=góc HBG(cmt)

BG cạnh chung
=>Tam giác ABG=Tam giác HBG
=>Góc AGB=Góc HGB
mà góc AGB+góc HGB=180 độ(kề bù)

=>Góc AGB=góc HGB=90 độ (1)
Vì tam giác ABG=tam giác HBG(cmt)=>AG=HG (2)
Từ (1) và (2)=>BG là đường trung trực của AH
=>BE là đường trung trực của AH (đpcm)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a, Có $\triangle$ `ABC` cân tại `A`, `EH ⊥ BC` ↔ $\widehat{H_1}$ = $\widehat{H_2}$

Vì $\triangle$ `ABC` vuông tại `A` → $\widehat{A_2}$ = `90^o`

Xét $\triangle$ `ABE` và $\triangle$ `HBE` có : 

`BE` chung

$\widehat{A_2}$ = $\widehat{H_2}$

$\widehat{B_1}$ = $\widehat{B_2}$ ( `BE` là tia phân giác của $\widehat{B}$ )

→ $\triangle$ `ABE` = $\triangle$ `HBE` ( c.h - g.nh )

→ `AB = HB` ( `2` cạnh tương ứng )

→ `AE = EH` ( `2` cạnh tương ứng )

b, Có : 

+ `AB = HB` → `B` thuộc đường trung trực của `AH`

+ `AE = EH` → `E` thuộc đường trung trực của `AH`

⇔ `BE` là đường trung trực của `AH`