Đáp án:

a) $\triangle AHC\backsim\triangle DBC$

b) $AD=5cm, DC=3\sqrt{5}cm$

c) $EF\bot AC, CD.CH+AD.AB=AC^2$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle AHC$ và $\triangle DBC$:

$\widehat{AHC}=\widehat{DBC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ACH}=\widehat{DCB}$ (gt)

$\to\triangle AHC\backsim\triangle DBC$ (g.g)

b)

$\triangle BAC$ vuông tại B:

$BA^2+BC^2=AC^2$ (định lý Pytago)

$\to BA=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(cm)$

$\triangle BAC$ có đường phân giác CD (gt)

$\to\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\\\to DA=\dfrac{5}{3}DB$

Ta có:

$DA+DB=AB=8(cm)\\\to\dfrac{5}{3}DB+DB=8\\\to 8DB=24\\\to DB=3(cm)\to DA=8-3=5(cm)$

$\triangle BDC$ vuông tại B:

$BD^2+BC^2=DC^2$ (định lý Pytago)

$\to DC=\sqrt{BD^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}(cm)$

c)

Xét $\triangle AEC$:

$AB\bot EC\,\,\,(AB\bot BC)$

$CH\bot AE$ (gt)

D là giao điểm của AB và CH

$\to$ D là trực tâm của $\triangle AEC$

$\to ED\bot AC\\\to EF\bot AC$

Xét $\triangle CFD$ và $\triangle CHA$:

$\widehat{CFD}=\widehat{CHA}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{FCD}$: chung

$\to\triangle CFD\backsim\triangle CHA$ (g.g)

$\to\dfrac{CF}{CH}=\dfrac{CD}{CA}\\to CF.CA=CH.CD$

Xét $\triangle ADF$ và $\triangle ACB$:

$\widehat{AFD}=\widehat{ABC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{DAF}$: chung

$\to\triangle ADF\backsim\triangle ACB$ (g.g)

$\to\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\\\to AD.AB=AF.AC$

$\to CD.CH+AD.AB=CF.CA+AF.AC=AC(CF+AF)=AC.AC=AC^2$