Đáp án:

a) Tia phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt $AC$ tại $D$

$\Rightarrow BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BDE}$

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{BDE}\,\rm(cmt)\\BD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta EBD\,\rm(ch-gn)$

b) $\Delta ABD=\Delta EBD\Rightarrow AB=BE$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow ABE$ cân tại $B$ có $BD$ là tia phân giác từ đỉnh $BD$.

Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung trực của tam giác đó.

Vậy $BD$ là đường trung trực của $AE$.

c) $\Delta ABE$ cân tại $B$ với $\widehat{ABE}=60^\circ$.

$\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{AEB}$ (hai cạnh đáy bằng nhau)...

Mà $\widehat{BAE}+\widehat{AEB}=180^\circ-\widehat{ABE}=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

$\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{AEB}=\dfrac{120^\circ}2=60^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BAE}=\widehat{AEB}=60^\circ$

$\Rightarrow\Delta ABE$ đều.

d) Ta có $\widehat{BAE}+\widehat{EAC}=\widehat{BAC}=90^\circ$

$\Rightarrow 60^\circ+\widehat{EAC}=90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{EAC}=30^\circ$ (*).

Ta có $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180^\circ$ (tính chất).

$\Rightarrow 90^\circ+60^\circ+\widehat{ACB}=180^\circ$

$\Rightarrow 150^\circ+\widehat{ACB}=180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=30^\circ$ (**)

Từ (*) và (**) ta có $\widehat{EAC}=\widehat{ACB}$.

$\Rightarrow\Delta ACE$ cân tại $E\Rightarrow AE=CE$ (hai cạnh bên bằng nhau).

$\Delta ABE$ đều $\Rightarrow AE=BE$ mà $AE=CE\Rightarrow BE=CE$ (*)'

$\Delta ABE$ đều $\Rightarrow AB=BE$ mà $BE=CE\Rightarrow AB=CE$ (**)'

Từ (*)' và (**)' ta có $AB=BE=CE$.

$\Rightarrow BE+CE=AB+AB\Rightarrow BC=2AB=2.5=10cm$.

Ta xét tam giác $\Delta ABC$ có $AB=5cm$ và $BC=10cm$.

Áp dụng định lý Pytagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{10^2-5^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{75}\approx8,7cm$

Vậy $AC\approx8,7cm$.