Kẻ $IG\bot BC$ tại $G$

Xét $\Delta ACI$ vuông tại $A$ và $\Delta GCI$ vuông tại $G$, ta có:

+   $CI$ là cạnh chung

+   $\widehat{ACI}=\widehat{GCI}$ (vì $CI$ là phân giác)

$\to \Delta ACI=\Delta GCI\left( ch-gn \right)$

$\to CA=CG$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta CAI$ và $\Delta CFB$, ta có:

+   $\widehat{ACI}=\widehat{FCB}$ (vì $CI$ là phân giác)

+   $\widehat{CAI}=\widehat{CFB}=90{}^\circ $

$\to \Delta CAI\backsim\Delta CFB\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{CA}{CF}=\dfrac{CI}{CB}$

$\to CI.CF=CA.CB$

$\to CI.CF=CG.CB\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta BGI$ và $\Delta BAC$, ta có:

+   $\widehat{ABC}$ là góc chung

+   $\widehat{BGI}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta BGI\backsim\Delta BAC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{BG}{BA}=\dfrac{BI}{BC}$

$\to BI.BA=BG.BC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, cộng vế theo vế

$\to CI.CF+BI.BA=BC\left( CG+BG \right)=B{{C}^{2}}$