a)$\Delta DEF$ cân tại $D$

$\Rightarrow DE=DF$

Xét $\Delta DEM $ và $\Delta DFM$, ta có:

$ DE = DF \\ \widehat {DME} = \widehat {DMF}( = {90^ \circ }) \\ $

$DM$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta DEM = \Delta DFM$

b)$ \Delta DEM = \Delta DFM \\ \Rightarrow EM = MF = \frac{{EF}}{2} = 9(cm) \\ \Delta DEM \bot M \\ \Rightarrow D{E^2} = D{M^2} + M{E^2} \\ \Rightarrow D{M^2} = D{E^2} - M{E^2} \\ = {15^2} - {9^2} \\ = 144 \\ \Rightarrow DM = \sqrt {144} = 12(cm) \\ $

c) Ta có $DE=DF$

$\Rightarrow D$ cách đều $E$ và $F$

$ME=MF$

$\Rightarrow M$ cách đều $E$ và $F$

Vậy $DM$ là trung trực của $EF$

$ K \in DM \\ \Rightarrow KE = KF \\ $

$\Rightarrow \Delta KEF$ cân tại $K$

d) $ \widehat {EDF} = {80^ \circ } \\ \Rightarrow \widehat {EDM} = \widehat {MDF} = \dfrac{{\widehat {EDF}}}{2} = {40^ \circ } \\ \Delta DMF \bot M \\ \Rightarrow \widehat {MDF} + \widehat {DFM} = {90^ \circ } \\ \Rightarrow \widehat {DFM} = {90^ \circ } - {40^ \circ } = {50^ \circ } \\ $

Vì $DM; EN$ là đường phân giác của tam giác

$K = DM \cap FN$

$\Rightarrow FK$ là phân giác

$\Rightarrow \widehat {DFK} = \widehat {KFM} = \dfrac{{\widehat {DFM}}}{2} = \dfrac{{{{50}^ \circ }}}{2} = {25^ \circ }$

Xét $\Delta DFK$, ta có:

$ \widehat {KDF} > \widehat {KFD} \\ \Rightarrow KF > DK \\ $