Đáp án:

a)

Do AB là tiếp tuyến của (O) nên: OB ⊥ AB

=> Tam giác OAB vuông tại O

Theo Pytago: 

$\begin{array}{l}
O{B^2} + A{B^2} = O{A^2}\\
 \Rightarrow A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {R^2} = 3{R^2}\\
 \Rightarrow AB = R\sqrt 3 
\end{array}$

b)

Xét tam giác OBC cân tại O có OH là đường cao

=> OH đồng thời là đường phân giác và trung tuyến

=> góc BOH = góc COH

Xét tam giác OAB và OAC có:

+)OB=OC

+) góc BOA= góc COA

+) OA chug

=> ΔOAB=ΔOAC (c-g-c)

=> góc OBA= góc OCA=90

=> AC⊥OC

=> AC là tiếp tuyến của (O)

c) Trong tam giác OAB có BH là đường cao

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow BH.OA = OB.AB\\
 \Rightarrow BH = \frac{{OB.AB}}{{OA}} = \frac{{R.\sqrt 3 R}}{{2R}} = \frac{{\sqrt 3 R}}{2}\\
 \Rightarrow BC = 2BH = \sqrt 3 R\\
 \Rightarrow AB = AC = BC\left( { = \sqrt 3 R} \right)
\end{array}$

=> Tam giác ABC đều

d)

Gọi G là trung điểm của AC và J là giao của AE và HD, F' là giao của AE và OB

Ta cần chứng minh F= F' 

Dễ thấy HD//OB ; HG//AB mà AB⊥OB;

=> HD⊥GH hay HD là tiếp tuyến của (G) tại H

Từ đó ta có: góc EHJ = góc EAJ

=> ΔHEJ ~ ΔAHJ (g-g) 

$ \Rightarrow \frac{{EJ}}{{HJ}} = \frac{{HJ}}{{AJ}} \Rightarrow H{J^2} = EJ.AJ$

Xét tam giác vuông JDA có DE là đường cao, áp dụng hệ thức lương trong Δ:

JD.JD=JE.JA

=> HJ=JD

ÁP dụng định lý Ta lét trogn tam giác OAB có:

Do HD//OB nên: $\frac{{HJ}}{{OF'}} = \frac{{JD}}{{F'B}}\left( { = \frac{{AJ}}{{AF'}}} \right)$

MẦ HJ=JD nên OF'=F'B hay F' là trung điểm của OB

=> F trùng F'

=> A,E,F thẳng hàng