a)

Xét $\Delta IBM$ và $\Delta ABC$, ta có:

+   $\widehat{ABC}$ là góc chung

+   $\widehat{BIM}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta IBM\backsim\Delta ABC\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta CIN$ và $\Delta CAB$, ta có:

+   $\widehat{ACB}$ là góc chung

+   $\widehat{CIN}=\widehat{CAB}=90{}^\circ $

$\to \Delta CIN\backsim\Delta CAB\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{CI}{CA}=\dfrac{CN}{CB}$

$\to CI.CB=CA.CN$

c)

Xét $\Delta CAI$ và $\Delta CBN$, ta có:

+   $\widehat{ACB}$ là góc chung

+   $\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CI}{CN}$ (vì $CI.CB=CA.CN$)

$\to \Delta CAI\backsim\Delta CBN\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{IAC}=\widehat{NBC}$

d)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}={{20}^{2}}+{{15}^{2}}=625$

$\to BC=25cm$

Vì $\Delta IBM\backsim\Delta ABC\left( cmt \right)$

$\to \dfrac{BI}{BA}=\dfrac{BM}{BC}$

$\to BI.BC=BM.BA$

Ta có 2 ý: $\begin{cases}CI.CB=CA.CN\\BI.BC=BM.BA\end{cases}$

$\to BC\left( CI+BI \right)=CA.CN+BM.BA$

$\to B{{C}^{2}}=CA.CN+BM.BA$

$\to CA.CN+BM.BA=625$