a)

$AEBCFD$ nội tiếp $\left(O\right)$

$\begin{cases}\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\\\\\widehat{CFA}=\widehat{CDA}\end{cases}$

$\to\widehat{AEC}+\widehat{CFA}=\widehat{ABC}+\widehat{CDA}$

$\to\widehat{AEC}+\widehat{CFA}=180{}^\circ$

Mà $\widehat{CFA}+\widehat{CFK}=180{}^\circ$

$\to \widehat{AEC}=\widehat{CFK}$

$\to \widehat{AEH}=\widehat{CFK}$

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta CKF$, ta có:

$\widehat{AHE}=\widehat{CKF}=90{}^\circ $

$\widehat{AEH}=\widehat{CFK}$ ( cmt )

$\to \Delta AHE\sim\Delta CKF$

$\to \dfrac{AH}{CK}=\dfrac{AE}{CF}$

$\to AH.CF=CK.AE$

b)

$E$ là điểm chính giữa $\overset\frown{AB}$

$\to \overset\frown{EA}=\overset\frown{EB}$

$\to \widehat{ECA}=\widehat{ECB}$

Vì $AEBC$ nội tiếp $\left( O \right)$

$\to \widehat{EAB}=\widehat{ECB}$

$\to \widehat{EAB}=\widehat{ECA}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác:

$I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Nên $AI$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

$\to \widehat{BAI}=\widehat{CAI}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, ta được:

$\widehat{EAB}+\widehat{BAI}=\widehat{ECA}+\widehat{CAI}$

$\to \widehat{EAI}=\widehat{ECA}+\widehat{CAI}$

Mặt khác, ta thấy:

$\widehat{EIA}$ là góc ngoài của $\Delta AIC$

Nên $\widehat{EIA}=\widehat{ECA}+\widehat{CAI}$

$\to $$\widehat{EAI}=\widehat{EIA}$

$\to \Delta EAI$ cân tại $E$

$\to EA=EI$

Mà $EA=EB$ ( do $\overset\frown{EA}=\overset\frown{EB}$ )

Vậy $EA=EI=EB$