Đáp án:

 a) Xét ΔAIB VÀ ΔCID có

+ AI=CI

+ góc AIB = góc CID( đối đỉnh)

+ IB=ID

=> ΔAIB= ΔCID( c-g-c)

b) Xét ΔIBC và ΔIDA có 

+ IB=ID

+ góc BIC = góc DIA( đối đỉnh)

+ IC= IA

=> ΔIBC = ΔIDA( c-g-c)

=>BC = DA

Ta có: ΔAIB = ΔCID

=> AB= CD

Xét ΔABC và ΔCDA có

+ AB = CD

+ BC = DA

+ AC - chung

=> ΔABC = ΔCDA( c-c-c)

=> góc BAC = góc DCA

mà: góc BAC = 90 độ

=> góc DCA = 90 độ

=> DC ⊥ AC

c) Ta có: BC = AD

=> 1/2 BC = 1/2 AD

hay: MC = NA

Lại có: ΔABC = ΔCDA

=> góc ACB = góc CAD

hay: góc ICM = góc IAN

Xét ΔAIN và ΔCIM có

+ AI = CI

+ góc IAN = góc ICM

+ NA = MC

=> ΔAIN = ΔCIM( c-g-c)

=> IN = IM (1)

và góc AIN = góc CIM

=>I, M, N thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) => I là trung điểm của MN

d) Ta có: ΔIBC = ΔIDA

=> góc IBC = góc IDA

mà chúng ở vị trí so le trong tạo bởi BC và AD

=> AD // BC

=> góc MBN = góc ANB( so le trong)

Xét ΔANB và ΔMBN có 

+ NA = MB

+ góc ANB = góc MBN

+ BN - chung

=> ΔANB = ΔMBN( c-g-c)

=> AB = MN

mà: AB = 3cm

=> MN = 3cm

Vậy MN = 3cm