Vì $\Delta ACDB$ nội tiếp có 2 đường chéo cắt nhau tại $I$

Nên dễ dàng chứng minh được:

$\Delta IAC\sim\Delta IBD$

$\to \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{AC}{BD}$

Mà: $\begin{cases}AC=MA\\BD=MB\end{cases}$

Nên $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{MA}{MB}$

$\Delta IAB$ có tỉ số: $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{MA}{MB}$

Nên $IM$ là tia phân giác $\widehat{AIB}$

b)

từ câu a:

$IM$ là tia phân giác $\widehat{AIB}$

Mà:

$IM\bot IK$

$\widehat{AIB}$ và $\widehat{DIB}$ là hai góc kề bù

Nên $IK$ là phân giác $\widehat{DIB}$

Nếu như $A,I,K,B$ cùng thuộc một đường tròn

Tức là $AIKB$ là tứ giác nội tiếp

$\to\begin{cases}\widehat{KIB}=\widehat{KAB}\,\,\,\left(\text{ cùng chắn cung AB }\right)\\\\\widehat{KID}=\widehat{KBA}\,\,\,\left(\text{ góc ngoài bằng góc đối trong }\right)\end{cases}$

Mà $\widehat{KAB}=\widehat{KBA}$ ( vì $OK$ là đường trung trực của $AB$ )

Nên $\widehat{KIB}=\widehat{KID}$

Do đó $IK$ là tia phân giác $\widehat{DIB}$

Mà điều này đúng ( bởi vì mới chứng minh ở trên )

Vậy $A,I,K,B$ cùng thuộc một đường tròn