Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BE,CF$ là đường cao của $\Delta ABC$

$\to BE\perp AC, CF\perp AB$

$\to\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to B,C,E,F\in $Đường tròn đường kính $BC$

b.Xét $\Delta AEB,\Delta AFC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o$

$\to\Delta AEB\sim\Delta AFC(g.g)$

$\to\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to AE.AC=AF.AB$

c.Ta có $BCEF$ nội tiếp

$\to\widehat{FEB}=\widehat{FCB}=\widehat{NCB}=\widehat{NMB}$

$\to EF//MN$

d.Ta có:

$\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to \widehat{EHA}=\widehat{EFA}=\widehat{ACB}$ vì $BCEF$ nội tiếp

$\to \widehat{EHA}=\widehat{ACB}=\widehat{AMB}=\widehat{AME}$
$\to\Delta AHM$ cân tại $A$

Mà $HE\perp AC\to AE\perp HM\to E$ là trung điểm $HM$

Tương tự $F$ là trung điểm $NH$

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta HMN$

$\to EF=\dfrac12MN$

Mà $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to EF\le AH$

$\to AH\ge \dfrac12MN$

$\to \dfrac{MN}{AH}\le 2$

Dấu = xảy ra khi $EF=AH\to EF$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp $AEHF$

$\to \widehat{FAE}=90^o$ vô lý vì $\hat A<90^o$