$13)$

$a)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1};AB=AC$

$MC=MB+BC=NC+BC=BN$

Xét $\Delta ABN$ và $\Delta ACM$

$BN=CM\\ \widehat{B_1}=\widehat{C_1}\\ AB=AC\\ \Rightarrow \Delta ABN = \Delta ACM\\ b)\Delta ABN = \Delta ACM\\ \Rightarrow AN=AM$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$

$AB=AC\\ AM=AN\\ BM=CN\\ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACN\\ c) \Delta ABM = \Delta ACN\\ \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AKC$

$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^o\\ AB=AC\\ \widehat{A_1}=\widehat{A_2}\\ \Rightarrow  \Delta AHB= \Delta AKC\\ \Rightarrow  BH=CK$

$d)E,F$ là giao của $AB,AC$ với $HK$

$ \Delta AHB= \Delta AKC\\ \Rightarrow  AH=AK$

$\Rightarrow \Delta AHK$ cân tại $A$

$\Rightarrow  \widehat{H_1}=\widehat{K_1}$

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta AFK$

$\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\\ AH=AK\\ \widehat{H_1}=\widehat{K_1}\\ \Rightarrow \Delta AEH = \Delta AFK\\ \Rightarrow AE=AF$

$\Rightarrow \Delta AEF$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{E_1}=\dfrac{180^o-\widehat{EAF}}{2}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}= \widehat{B_1}\\ \Rightarrow EF//BC\\ \Leftrightarrow HK//BC$

$e)\Delta AHK$ cân tại $A(cmt)$

Xét $\Delta AHO$ và $\Delta AKO$

$AO:$ chung

$AH=AK\\ \widehat{AHO}=\widehat{AKO}=90^o\\ \Rightarrow \Delta AHO=\Delta AKO\\ \Rightarrow HO=KO\\ \Rightarrow HO-HB=KO-CK\\ \Leftrightarrow BO=CO$

$\Rightarrow \Delta OBC$ cân tại $O$

$f)\Delta OBC$ cân tại $O$

$\Rightarrow OB=OC$

Mà $AB=AC$

$\Rightarrow OA$ là trung trực $BC$

$\Rightarrow OA \perp BC\\ g)AB=AC=BC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ đều

$\Rightarrow \widehat{B_1}=60^o\\ \Rightarrow \widehat{ABM}=120^o$

$\Delta ABC$ cân$(AB=BM)$ có $BH$ là đường cao đông thời là đường phân giác

$\Rightarrow \widehat{B_2}=\dfrac{1}{2} \widehat{ABM}=60^o\\ \Rightarrow \widehat{B_3}=\widehat{B_2}=60^o(đđ)$

$\Delta OBC$ cân tại $O$ có $1$ góc bằng $60^o$

$\Rightarrow \Delta OBC$ đều

$\Rightarrow \widehat{OBC}= \widehat{BCO}= \widehat{BOC}=60^o$