Đặt: 

$$A=\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}$$

$$a^2+2b^2+3$$

$$= (a^2+b^2)+(b^2+1)+2$$

Cauchy:

$$a^2+b^2\ge 2ab\\b^2+1\ge 2b$$

$$\to a^2+2b^2+3\ge 2(ab+b+1)$$

$$\to \dfrac{2}{a^2+2b^2+3}\le \dfrac{1}{ab+b+1}$$

Tương tự và cộng vế:

$$\to 2A\le \dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+a+1}$$

$$\to 2A\le 1$$

$$\to A\le \dfrac{1}{2}$$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c=1$

Đáp án:

Gọi A = ..... ( đề bài )

 Có a² + 2b² + 3 = (a² + b² ) + (b² +1) + 2

Áp dụng BDT Cosi chó 2 số dương a² ; b² ta có

(a² + b² ) + (b² +1)  + 2 ≥ 2ab + 2b + 2 

⇒$\frac{1}{a²+ 2b² + 3}$ )≤$\frac{1}{2(ab + b + 1) }$ 

CM tương tự $\frac{1}{ b² + 2c²+ 3}$  ≤ $\frac{1}{2(bc + c +1 )}$ 

                      $\frac{1}{c² + 2c² + 3}$  ≤ $\frac{1}{2(ac +a+1 )}$ 

Cộng vế vs vế ta đc 

  A=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{ab + b + 1}$  + $\frac{1}{bc + c +1}$  + $\frac{1}{ac +a +1}$)

     =$\frac{1}{2}$($\frac{1}{ab + b + 1}$  + $\frac{ab}{ab²c + abc + ab}$  + $\frac{b}{abc + ba +b}$)

     =$\frac{1}{2}$($\frac{1}{ab + b + 1}$  + $\frac{1}{2}$($\frac{1}{ab + b + 1}$ _+ $\frac{1}{2}$($\frac{1}{ab + b + 1}$  )    ( vì abc = 1) 

      =$\frac{1}{2}$ 

 Dấu ''='' xảy ra ⇔  a = b = c = 1

Vậy ......