Đáp án:

a)

Đáp án: $a)A∈\{237;-237\}$

Giải thích các bước giải:

$a)$ Gọi $3$ phần đó lần lượt là $a;b;c$

Do số $A$ được chia làm $3$ phần tỉ lệ với `\frac{2}{5};\frac{3}{4};\frac{1}{6}`

`⇒\frac{a}{\frac{2}{5}}=\frac{b}{\frac{3}{4}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}(*)`

$⇒a;b;c$ cùng dấu

Do tổng bình phương $3$ số ấy bằng $24309$

$⇒a^2+b^2+c^2=24309$

Từ `(*)⇔\frac{5a}{2}=\frac{4b}{3}=\frac{6c}{1}`

`⇒\frac{25a^2}{4}=\frac{16b^2}{9}=\frac{36c^2}{1}`

`⇒\frac{3600a^2}{576}=\frac{3600b^2}{2025}=\frac{3600c^2}{100}`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

`\frac{3600a^2}{576}=\frac{3600b^2}{2025}=\frac{3600c^2}{100}`

`=\frac{3600a^2+3600b^2+3600c^2}{576+2025+100}=\frac{3600.24309}{2701}=32400`

Ta có:

`\frac{3600a^2}{576}=32400 ⇔ a^2=5184 ⇔ a=±72`

`\frac{3600b^2}{2025}=32400 ⇔ b^2=18225 ⇔ b=±135`

`\frac{3600c^2}{100}=32400 ⇔ c^2=900 ⇔ c=±30`

Mà $a;b;c$ cùng dấu $⇒(a;b;c)∈\{(72;135;30);(-72;-135;-30)\}$

Vậy $A=72+135+30=237$ hoặc $$A=(-72)+(-135)+(-30)=-237$

$b)$ Từ `\frac{a}{c}=\frac{c}{b}⇒c^2=ab`

Ta có: `\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ab}{b^2+ab}`

`=\frac{a(a+b)}{b(a+b)}=\frac{a}{b} (đpcm)`