a)

$\Delta AMB$ nội tiếp $\left( O \right)$ đường kính $AB$

$\to \widehat{AMB}=90{}^\circ $

$\to \Delta AMB$ vuông tại $M$

 Có $MA=MB$ ( Vì $M$ là điểm chính giữa $\overset\frown{AB}$ )

Nên $\Delta AMB$ vuông cân tại $M$

$\to \widehat{MAB}=\widehat{MBA}=45{}^\circ $

Xét tứ giác $KHMB$ có:

$\widehat{HKB}=90{}^\circ $

$\widehat{HMB}=90{}^\circ $

$\to \widehat{HKB}+\widehat{HMB}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

$\to KHMB$ là tứ giác nội tiếp

b)

Vì $KHMB$ là tứ giác nội tiếp:

$\to \widehat{HBK}=\widehat{HMK}$ ( cùng chắn $\overset\frown{HK}$ )

Mà $\widehat{HBK}=\widehat{HMN}$ (  cùng chắn $\overset\frown{NA}$  trong tứ giác $ANMB$ nội tiếp $\left( O \right)$ )

Nên $\widehat{HMK}=\widehat{HMN}$

$\to MH$ là tia phân giác $\widehat{NMK}$

$\to MA$ là tia phân giác $\widehat{NMK}$

c)

$\widehat{MNB}=\widehat{MAB}$ ( cùng chắn $\overset\frown{MB}$ trong tứ giác $ANMB$ nội tiếp $\left( O \right)$ )

Mà $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=45{}^\circ $ ( cmt )

Nên $\widehat{MNB}=\widehat{MBA}=45{}^\circ $

Xét $\Delta MBN$ và $\Delta MIB$, ta có:

$\widehat{IMB}$ là góc chung

$\widehat{MNB}=\widehat{MBA}=45{}^\circ $ ( cmt )

Nên $\Delta MBN\sim \Delta MIB$

$\to \dfrac{MB}{MI}=\dfrac{MN}{MB}$

$\to MN.MI=M{{B}^{2}}$