Gọi `M,N` lần lượt là trung điểm của `AB,CD.`

Ta có `AN ⊥ CD` mà `(ACD) ⊥ (BCD)`

`=> AN  ⊥ (BCD) => AN  ⊥ BN`

` ABC` cân tại `C,` có `M` là trung điểm của `AB`

`=> CM  ⊥ AB`

Giả sử `(ABC)  ⊥ (BCD)` mà `CM  ⊥ AB `

`=> CM  ⊥ (ABD) `

`=> CM  ⊥ DM`

Khi đó `MCD` vuông cân tại `M `

`=> MN = \frac{AB}{2} = \frac{CD}{2}`

`=> AB = CD = 2x`

Lại có `AN = BN = √AC² - AN² =\sqrt{a²-x²}`

mà `AB² = AN² + BN²`

`=> 2(a²-x²) =4x² `

`<=> a² = 3x²`

`<=> x = \frac{a\sqrt{3}}{3}`

Chọn A

Đáp án:

$A. \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Giải thích các bước giải:

 Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$

Ta có : $AN \perp CD, ( {ACD} ) \bot ( {BCD} )$

$\Rightarrow AN \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AN \bot BN \Rightarrow \Delta ABN$ vuông tại $N$

$\Rightarrow NM = \dfrac{{AB}}{2}( 1)$

$\Delta ABC$ cân tại $C, M$ là trung điểm của $AB$ 

Giả sử $(ABC) \perp (ABD)$ 

$\Rightarrow CM \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow CM \bot DM.$

$\to \Delta MCD$ vuông tại $M$ 

$\Delta ABC = \Delta ABD ( {c.c.c} )$ $\Rightarrow CM = DM$

$\Rightarrow \Delta MCD$ vuông cân tại $M$ 

$\Rightarrow MN = \dfrac{{CD}}{2}( 2)$

$(1)(2) \Rightarrow AB=CD=2x$

Lại có : $\Delta ACD = \Delta BCD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AN = BN = \sqrt {A{C^2} - C{N^2}}  = \sqrt {{a^2} - {x^2}} ,A{B^2} = A{N^2} + B{N^2}.$

$2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2}$ $\Leftrightarrow {a^2} = 3{x^2}$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$