`P=1/(x^2+y^2)+2/(xy)+4xy`

` Dự ` ` đoán ` ` dấu ` ` bằng `

`x=y=1/2`

` Từ ` ` x^2+y^2` ` và ` `xy`

` Để ` ` liên ` ` kết `  ` gt ` ` ta ` ` nghĩ ` `  đến ` `(x+y)^2=1`

` Do` ` đó ` ` ta ` ` sẽ ` ` dùng ` ` Svác - xơ ` ` để `  ` liên ` ` kết `

` Còn ` ` xy ` ` ta ` ` xử ` ` lý ` `  bằng ` ` Cauchy`

__________________________________________________________________________

`P=1/(x^2+y^2)+2/(xy)+4xy`

`=1/(x^2+y^2)+1/(2xy)+3/(2xy)+4xy`

`=1/(x^2+y^2)+1/(2xy)+1/(4xy)+4xy+5/(4xy)`

` Theo ` `Svác - xơ ` 

`1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=(1+1)^2/(x+y)^2=4`

` Theo `  `Cauchy`

`1/(4xy)+4xy>=2sqrt{1/(4xy) . 4xy)}=2`

` Và ` `xy<=(x+y)^2/4=1/4`

`=>P>=4+2+5`

`=>P>=11`

` ĐTXR<=>x=y=1/2`

` Vậy ` ` M``i``n``P=11<=>x=y=1/2`

Đáp án:

`P = 1/(x^2 + y^2) + 2/(xy) + 4xy`

`P = 1/(x^2 + y^2)+1/(2xy) +1/(4xy)+5/(4xy)+4xy`

`P = (1/(x^2 + y^2)+1/(2xy) ) + (1/(4xy) + 4xy) +5/(4xy)`

Áp dụng BĐT `1/x + 1/y >= 4/(x + y)` (*) ta có:

`1/(x^2 + y^2)+1/(2xy) >= 4/(x^2  + 2xy + y^2)  = 4/[(x + y)^2] = 4`     (do: `x + y = 1`)

Dấu `''=''` xảy ra `⇔ x + y = 1`

Áp dụng BĐT Co-si cho `2` số dương, ta có:

`1/(4xy) +  4xy >= 2\sqrt{1/(4xy). 4xy} = 2`

Dấu `''=''` xảy ra `⇔ x = y`

Do: `(x + y)^2 >= 4xy`

`=> 1 >= 4xy`

`=> 5 <= 5/(4xy)`

Dấu `''=''` xảy ra `⇔ xy = 1/4`

`=> (1/(x^2 + y^2)+1/(2xy) ) + (1/(4xy) + 4xy) +5/(4xy) >= 4 + 2 + 5 = 11`

`=> P >= 11`

Dấu `''=''` xảy ra `⇔`  $\begin{cases} x + y = 1\\x = y\\xy = \dfrac14 \end{cases}$

                           `<=> x = y = 1/2`

Vậy `P_(min) = 11 <=> x = y = 1/2`

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`@` Chứng minh (*)

`1/x + 1/y >= 4/(x + y)`

`<=> (x + y)/(xy) >= 4/(x + y)`

`<=> (x + y)^2 >= 4xy`

`<=> x^2 + 2xy + y^2 >= 4xy`

`<=> x^2 - 2xy + y^2 >= 0`

`<=> (x - y)^2 >= 0`      (luôn đúng)

Vậy `1/x + 1/y >= 4/(x + y)`

`#hana`