a)

$\Delta OAC$ cân tại $O$ $\left( OA=OC=R \right)$

Có $\widehat{AOC}=60{}^\circ $

$\to \Delta OAC$ là tam giác đều

$\to \widehat{CAB}=60{}^\circ $

$\Delta ACB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính

$\to \widehat{ACB}=90{}^\circ $

$\to \Delta ACB$ vuông tại $C$

$\to \widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90{}^\circ $

$\to \widehat{CBA}=90{}^\circ -\widehat{CAB}$

$\to \widehat{CBA}=90{}^\circ -60{}^\circ $

$\to \widehat{CBA}=30{}^\circ $

Kết luận: $\begin{cases}\widehat{ACB}=90{}^\circ\\\widehat{CAB}=60{}^\circ\\\widehat{CBA}=30{}^\circ\end{cases}$

b)

$E$ là điểm chính giữa $\overset\frown{AC}$

$\to \overset\frown{EC}=\overset\frown{EA}$

$\to \widehat{EBC}=\widehat{EBA}$

$\to BE$ là tia phân giác $\widehat{CBA}$

$F$ là điểm chính giữa $\overset\frown{BC}$

$\to \overset\frown{FC}=\overset\frown{FB}$

$\to \widehat{FAC}=\widehat{FAB}$

$\to AF$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$

Xét $\Delta ACB$, ta có:

$BE$ là tia phân giác $\widehat{CBA}$ ( cmt )

$AF$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$ ( cmt )

Mà $BE$ cắt $AF$ tại $I$

Nên $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ACB$

$\to CI$ là tia phân giác $\widehat{ACB}$

c)

$AF$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$

$\to \widehat{FAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{CAB}=\dfrac{1}{2}.60{}^\circ =30{}^\circ $

Mặt khác:

$\widehat{CFA}=\widehat{CBA}$ ( cùng chắn $\overset\frown{AC}$ )

Mà $\widehat{CBA}=30{}^\circ $  nên  $\widehat{CFA}=30{}^\circ $

$\to \widehat{FAB}=\widehat{CFA}=30{}^\circ $

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

Nên $CF\,\,||\,\,AB$

$\to ABFC$ là hình thang

Mà $ABFC$ lại nội tiếp $\left( O \right)$

Nên $ABFC$ là hình thang cân  ( một hình thang và nội tiếp được đường tròn thì hình thang đó sẽ trở thành hình thang cân )