Đáp án:

a) $BC=10cm$

b) $\triangle ABI=\triangle HBI$

c) BI là trung trực của AH, $\widehat{HIC}=2\widehat{HAI}$

d) $IA<IC$

e) B, I, M thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(cm)$

b)

Xét $\triangle ABI$ và $\triangle HBI$:

$\widehat{BAI}=\widehat{BHI}\,\,\,(=90^o)$

$BI$: chung

$\widehat{ABI}=\widehat{HBI}$ (gt)

$\to\triangle ABI=\triangle HBI$ (ch - gn)

c)

$\triangle ABI=\triangle HBI$ (cmt)

$\to BA=BH$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle BAH$ cân tại B

Mà BI là phân giác của $\widehat{ABH}$ (gt)

$\to$ BI đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng AH

$\to IA=IH$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle IAH$ cân tại I

$\to\widehat{HAI}=\widehat{AHI}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{AIH}+\widehat{HAI}+\widehat{AHI}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{AIH}+2\widehat{HAI}=180^o\,\,\,(1)$

$\widehat{AIH}+\widehat{HIC}=180^o$ (kề bù)

$\to\widehat{HIC}=2\widehat{HAI}$

d)

$\triangle HIC$ vuông tại H (gt)

$\to IH<IC$ (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)

Mà $IA=IH$ (cmt)

$\to IA<IC$

e)

Xét $\triangle BKC$:

$KH\bot BC\,\,\,(IH\bot BC)\\CA\bot BK\,\,\,(CA\bot BA)$

I là giao điểm của KH và CA

$\to$ I là trực tâm của $\triangle BKC$

$\to BI\bot KC$

Mà $MI\bot KC$ (gt)

$\to$ B, I, M thẳng hàng