Đáp án:

 1) $\not \exists m$ thỏa mãn đề.

2) $m \in \left\{ {3;\dfrac{{ - 3}}{4}} \right\}$ thỏa mãn đề.

3) $\not \exists m$ thỏa mãn đề.

Giải thích các bước giải:

 1)

Ta có:

Xét hàm số $y_1 = 3x - {m^2} + 2m - 5$

Hàm số đồng biến trên $R$ vì $a=3$ $\to $ Hàm số đồng biến trên $\left( { - 3;1} \right)$

Và $y_1\left( { - 3} \right) =  - {m^2} + 2m - 14$; $y_1\left( 1 \right) =  - {m^2} + 2m - 2$

Nên $Max y_1=y_1(1)=  - {m^2} + 2m - 2; Min y_1=y_1(-3)=- {m^2} + 2m - 14$ 

Mặt khác: $y_1\left( { - 3} \right),y_1\left( 1 \right) < 0$

$ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} y = \mathop { - Min}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} {y_1} =  - \left( { - {m^2} + 2m - 14} \right) = {m^2} - 2m + 14$

Mà $\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} y = 10$

Nên ta có:

${m^2} - 2m + 14 = 10 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 = 0\left( {vn} \right)$

Vậy $\not \exists m$ thỏa mãn đề.

2)

Xét đồ thị hàm số ${y_1} = {x^2} - 3x + m$ có hoành độ của đỉnh Parabol là: $x = \dfrac{3}{2}$

$\to$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {\dfrac{3}{2};2} \right)$

Lại có:

${y_1}\left( 0 \right) = m;{y_1}\left( {\dfrac{3}{2}} \right) = m - \dfrac{9}{4};{y_1}\left( 2 \right) = m - 2$

TH1: Nếu $m - \dfrac{9}{4} \ge 0 \Rightarrow m \ge \dfrac{9}{4}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
  \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = {y_1}\left( 0 \right) = m\\
 \Rightarrow m = 3\left( {tm} \right)
\end{array}$

TH2: Nếu $m - \dfrac{9}{4} < 0 \le m - 2$$ \Rightarrow 2 \le m < \dfrac{9}{4}$

Khi đó: 

$\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = Max\left\{ {{y_1}\left( 0 \right); - {y_1}\left( {\dfrac{3}{2}} \right)} \right\} = Max\left\{ {m;\dfrac{9}{4} - m} \right\}$

Mà $2 \le m < \dfrac{9}{4} \Rightarrow 0 < \dfrac{9}{4} - m \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{9}{4} - m < m$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = m\\
 \Rightarrow m = 3\left( {ktm} \right)
\end{array}$

TH3: Nếu $m - 2 < 0 \le m \Rightarrow 0 \le m < 2$

Khi đó:

$\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = Max\left\{ {{y_1}\left( 0 \right); - {y_1}\left( {\dfrac{3}{2}} \right)} \right\} = Max\left\{ {m;\dfrac{9}{4} - m} \right\}$

+) Nếu $m \le \dfrac{9}{4} - m \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{8} \Rightarrow 0 \le m < \dfrac{9}{8}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = \dfrac{9}{4} - m\\
 \Rightarrow \dfrac{9}{4} - m = 3\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 3}}{4}\left( {ktm} \right)
\end{array}$

+) Nếu $m > \dfrac{9}{4} - m \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{8} \Rightarrow 2 > m > \dfrac{9}{8}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = m\\
 \Rightarrow m = 3\left( {ktm} \right)
\end{array}$

TH4: Nếu $m < 0$

$\begin{array}{l}
\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y =  - {y_1}\left( {\dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{9}{4} - m\\
 \Rightarrow \dfrac{9}{4} - m = 3\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 3}}{4}\left( {tm} \right)
\end{array}$

Vậy $m \in \left\{ {3;\dfrac{{ - 3}}{4}} \right\}$ thỏa mãn đề.

3)

Xét đồ thị hàm số ${y_1} = {x^2} + 2x + 2m - 1$ có hoành độ điểm đỉnh của Parabol là: $x=-1$

$\to $ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;-1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {-1;2} \right)$

Lại có:

${y_1}\left( { - 2} \right) = 2m - 1;{y_1}\left( -1 \right) = 2m - 2;{y_1}\left( 2 \right) = 2m + 7$

TH1: Nếu $2m-2\ge 0\to m\ge 1$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} y = {y_1}\left( 2 \right) = 2m + 7\\
 \Rightarrow 2m + 7 = 4\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 3}}{2}\left( {ktm} \right)
\end{array}$

TH2: Nếu $2m - 2 < 0 \le 2m - 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le m < 1$

Khi đó:

$\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} y = Max\left\{ {{y_1}\left( 2 \right); - {y_1}\left( { - 1} \right)} \right\}$

Mà $\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2} \le m < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < 2 - 2m \le 1\\
8 \le 2m + 7 < 9
\end{array} \right. \Rightarrow 2m + 7 > 2 - 2m\\
 \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} y = 2m + 7\\
 \Rightarrow 2m + 7 = 4\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 3}}{2}\left( {ktm} \right)
\end{array}$

TH3: Nếu $2m - 1 < 0 \le 2m + 7 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7}}{2} \le m < \dfrac{1}{2}$

Khi đó:

$\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} y = Max\left\{ {{y_1}\left( 2 \right); - {y_1}\left( { - 1} \right)} \right\} = Max\left\{ {2m + 7;2 - 2m} \right\}$

+) Nếu $2 - 2m < 2m + 7 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 5}}{4} \Rightarrow \dfrac{{ - 5}}{4} < m < \dfrac{1}{2}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} y = 2m + 7\\
 \Leftrightarrow 2m + 7 = 4\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 3}}{2}\left( {ktm} \right)
\end{array}$

+) Nếu $2 - 2m \ge 2m + 7 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{ - 5}}{4} \Rightarrow \dfrac{{ - 7}}{2} \le m \le \dfrac{{ - 5}}{4}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} y = 2 - 2m\\
 \Rightarrow 2 - 2m = 4\\
 \Leftrightarrow m =  - 1\left( {ktm} \right)
\end{array}$

TH4: Nếu $2m + 7 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 7}}{2}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} y =  - {y_1}\left( { - 1} \right) = 2 - 2m\\
 \Rightarrow 2 - 2m = 4\\
 \Leftrightarrow m =  - 1\left( {ktm} \right)
\end{array}$

Vậy $\not \exists m$ thỏa mãn đề.