$a)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow BCEF$ là hình thang cân

$b)E$ là trung điểm $AC,\,F$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow EF//BC \Leftrightarrow EF//BD;\\ EF=\dfrac{1}{2}BC=BD$

$\Rightarrow BDEF$ là hình bình hành

$c)\Delta ABC, G$ là giao điểm $3$ đường trung tuyến

$\Rightarrow FG=\dfrac{1}{2}GC$

Mà $FG=\dfrac{1}{2}MG$

$\Rightarrow GC=MG$

$\Rightarrow G$ là trung điểm $MC$

Chứng minh tương tự 

$\Rightarrow G$ là trung điểm $NB$

$\Rightarrow BCNM$ là hình bình hành$(1)$

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AD$ là trung tuyến đồng thời là trung trực của $BC$

Mà $G \in AD$

$\Rightarrow GB=GC\\ \Rightarrow GB=\dfrac{1}{2}MC$

$\Delta MBC$ có đường trung tuyến $GB$ ứng với cạnh huyền $MC$ bằng một nửa cạnh huyền

$\Rightarrow \Delta MBC$ vuông tại $B$

$\Rightarrow \widehat{MBC}=90^o(2)$

$(1)(2)\Rightarrow BCNM$ là hình chữ nhật

$d)\Rightarrow BCNM$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow GB=GC=GN=GM(3)$

$AMBG$ có $2$ đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow AMBG$ là hình bình hành

$\Rightarrow AM=GB(4)$

Chứng minh tương tự

$\Rightarrow AN=GC(5)\\ (3)(4)(5)\Rightarrow AN=AM=GN=GM$

$\Rightarrow AMGN$ là hình thoi

$e)\Rightarrow AMBG$ là hình bình hành

$\Rightarrow AM//BG \Leftrightarrow AM//BN$

$\Rightarrow AMBN$ là hình thang

$f)AMBN$ là hình thang cân

$\Rightarrow MB=AN$

$AMBG$ là hình bình hành

$\Rightarrow MB=AG\\ \Rightarrow AN=AG$

$\Rightarrow \Delta ANG$ cân tại $A$

$\Rightarrow \Delta ANG$ cân tại $A$ có $AE$ là trung tuyến đồng thời là đường cao

$\Rightarrow \widehat{AEG}=90^o\\ \Rightarrow BE \perp AC$

Mà $E$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow BE$ là trung trực $AC$

$\Rightarrow AB=BC$

Mà $AB=AC(\Delta ABC$ cân tại $A)$

$\Rightarrow AB=AC=BC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ đều