Giải thích các bước giải:

a.Trên tia đối của tia $FE$ lấy điểm $I$ sao cho $FE=FI$

Xét $\Delta AFI,\Delta CFE$ có:

$FA=FC$ vì $F$ là trung điểm $AC$

$\widehat{AFI}=\widehat{EFC}$ (đối đỉnh)

$FI=FE$

$\to\Delta AFI=\Delta CFE(c.g.c)$

$\to AI=EC, \widehat{FAI}=\widehat{FCE}\to AI//CE\to AI//BE$

Mà $E$ là trung điểm $BC\to EB=EC\to EB=AI$

Xét $\Delta AIE,\Delta  EBA$ có:

Chung $AE$

$\widehat{IAE}=\widehat{AEB}$ vì $AI//BE$
$AI=BE$

$\to\Delta AEI=\Delta EAB(c.g.c)$

$\to EI=AB$

$\to 2EF=2AD$ vì $D,F$ là trung điểm $AB,EI$

$\to EF=AD$

b.Từ câu a $\to \widehat{AEI}=\widehat{BAE}\to EI//AB\to EF//AD$

Xét $\Delta ADG, \Delta EFG$ có:

$\widehat{GAD}=\widehat{GEF}$ vì $AD//EF$

$AD=EF$

$\widehat{GDA}=\widehat{GFE}$

$\to \Delta ADG=\Delta EFG(g.c.g)$

$\to GD=GF$

$\to G$ là trung điểm $DF$

c.Tiên tia đối của tia $EA$ lấy điểm $P$ sao cho $E$ là trung điểm $AP\to EA=EP$

Xét $\Delta AEB,\Delta PEC$ có:

$EA=EP$

$\widehat{AEB}=\widehat{CEP}$

$EB=EC$ vì $E$ là trung điểm $BC$

$\to \Delta AEB=\Delta PEC(c.g.c)$

$\to \widehat{EAB}=\widehat{EPC}\to AB//PC$

Mặt khác $CP=AB$

Xét $\Delta ACP,\Delta AMN$ có:

$AN=AC$

$\widehat{ACP}=180^o-\widehat{BAC}=360^o-90^o-90^o-\widehat{BAC}=\widehat{MAN}$

$AM=CP(=AB)$

$\to \Delta AMN=\Delta CPA(c.g.c)$

$\to \widehat{CAP}=\widehat{ANM}$

$\to \widehat{CAE}=\widehat{ANK}$

Xét $\Delta AKN, \Delta CEA$ có:

$\widehat{KNA}=\widehat{ACE}$

$AN=AC$

$\widehat{ACE}=\widehat{ACH}=90^o-\widehat{HAC}=180^o-90^o-\widehat{HAC}=\widehat{KAN}$

$\to\Delta AKN=\Delta CEA(g.c.g)$

$\to KN=AE$

Tương tự chứng minh được $KM=AE$

$\to KM=KN$